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7. Dezember 2020

VE0019 | Plastische Biegung - Momentbelastung

Beschreibung

Ein Kragträger ist an seinem linken Ende vollständig befestigt und am anderen Ende einem Biegemoment entsprechend der grafischen Darstellung unten ausgesetzt. Das Problem wird durch folgenden Parametersatz beschrieben.

Material	Elastisch-Plastisch	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
		Querdehnzahl	ν	0,000	-
		Schubmodul	G	105000,000	MPa
		Plastische Festigkeit	f_y	240,000	MPa
Geometrie	Kragarm	Länge	L	2,000	m
		Breite	w	0,005	m
		Dicke	t	0,005	m
Last		Biegemoment	M	6,000	Nm

In diesem Beispiel werden kleine Verformungen berücksichtigt und das Eigengewicht wird vernachlässigt. Es soll die maximale Durchbiegung u_z,max bestimmt werden.

Plastische Biegung - Momentbelastung

Analytische Lösung

Der Kragträger wird mit dem Biegemoment M belastet. Zunächst werden die Größen dieser Last erläutert. Das Moment M_e beim Auftreten der ersten Plastifizierung und das Bruchmoment M_p beim Übergang zum plastischen Gelenk werden wie folgt berechnet:

M_{e} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) z w d z = 2 \int_{0}^{t / 2} \frac{2 f_{y}}{t} z^{2} w d z = \frac{f_{y} w t^{2}}{6}

Elastisches Moment

M_{p} = 2 \int_{0}^{t / 2} σ (z) z w d z = 2 \int_{0}^{t / 2} f_{y} z w d z = \frac{f_{y} w t^{2}}{4}

Plastisches Moment

Das Biegemoment M bewirkt den elastisch-plastischen Zustand. Der Querschnitt im elastisch-plastischen Zustand wird in den elastischen Kern und die plastische Oberfläche unterteilt, die durch den Parameter z_p gemäß folgender Darstellung beschrieben wird.

Verteilung der Biegespannung

z_{p} = \frac{f_{y}}{κ (x) E}

Parameter z_p

Das elastisch-plastische Moment M_ep im Querschnitt muss gleich dem Biegemoment M sein. Aus dieser Gleichheit ergibt sich die Krümmung.

κ = \frac{f_{y}}{E} \sqrt{\frac{1}{3 (\frac{t^{2}}{4} - \frac{M}{f_{y} w})}}

Krümmung

Die Gesamtdurchbiegung des Trägers u_z,max wird mithilfe des Integrals von Mohr berechnet.

u_{z, \max} = \int_{0}^{L} κ (x) (L - x) d x

Gesamtdurchbiegung des Kragarms

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.16 und RRFEM 6.01.
Die Elementgröße beträgt l_FE = 0,020 m.
Theorie I. Ordnung wird berücksichtigt.
Die Anzahl der Stufen beträgt 5.
Die Schubsteifigkeit der Stäbe wird vernachlässigt.

Ergebnisse

Materialmodell	Analytische Lösung	RFEM 5		RFEM 6
Materialmodell	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Ausnutzung [-]	u_z,max [m]	Ausnutzung [-]
Orthotrop plastisch 2D	1,180	1,190	1,008	1,190	1,008
Isotrop plastisch 2D/3D, Platte		1,173	0,994	1,173	0,994
Isotrop plastisch 1D		1,180	1,000	1,180	1,000
Isotrop nichtlinear elastisch 2D/3D, Platte, Mises		1,190	1,008	1,190	1,008
Isotrop nichtlinear elastisch 2D/3D, Platte, Tresca		1,190	1,008	1,190	1,008
Isotrop plastisch 1D		1,180	1,000	1,180	1,000

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Verifikationsbeispiel 0019 | 1 | Platte | Orthotrop plastisch 2D | Tsai-Wu

Referenzen

lubliner, J. (1990) angewendet. Plastizitätstheorie. NewYork: Macmillan, 2006

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