ASCE 7-16 a účinky P-Delta (druhého řádu)
Čl. 12.9.1.6 americké normy ASCE 7-16 [1] stanovuje, kdy je třeba zohlednit P-Delta účinky v modální analýze spektra odezvy pro seizmické posouzení. Tento odstavec se dále odkazuje na čl. 12.8.7 [1], v němž se uvádí, že účinky P-Delta se nemusí zohlednit, pokud je součinitel stability (θ) stanovený následující rovnicí roven nebo menší 0,10.
kde:
Px = celkové svislé návrhové zatížení v úrovni x a nad ní se součiniteli zatížení rovnými nebo menšími 1,0
Δ = návrhový posun podlaží podle čl. 12.8.6 [1] při působení Vx
Ie = součinitel významu podle článku 11.5.1 [1]
Vx = seizmická smyková síla mezi úrovněmi x a x-1
hsx = výška podlaží pod uvažovanou úrovní x
Cd = součinitel zvětšení deformace podle tabulky 12.2-1 [1]
Norma také stanovuje, že hodnota θ by neměla překročit menší z hodnot θmax a 0,25 vyplývajících z následující rovnice, protože jinak může být konstrukce nespolehlivá a měla by být navržena lépe.
Pokud je 0,10 ≤ θ ≤ θmax , měly by se všechna posunutí a síly na prutu vynásobit součinitelem z
. Případně lze účinky P-Delta zahrnout do automatické analýzy.NBC 2015 a účinky P-Delta (druhého řádu)
V čl. 4.1.8.3.8.c kanadské normy NBC 2015 [2] se uvádí pouze krátký požadavek na zohlednění účinků počátečního naklonění v důsledku interakce tíhových sil s deformovanou konstrukcí. Komentář k NBC 2015 [3] však obsahuje podobná vysvětlení jako norma ASCE 7, podle které se má součinitel stability (θx) v úrovni x vypočítat pomocí níže uvedené rovnice.
kde:
ΣWi = podíl výpočtového vlastního plus užitného zatížení na úrovni x stanovený ze Sent. 4.1.8.11.(7) [3]
ΣFi = součet návrhových bočních seizmických sil působících v nebo nad úrovní x
Ro = modifikační součinitel síly vztažený k navýšení pevnosti
Δmx = maximální nepružný mezipatrový průhyb definovaný v Sent. 4.1.8.13.(3) [3]
hs = výška patra
Pokud je θx menší než 0,10, lze účinky P-delta zanedbat. Pokud je θx větší než 0,40, měla by být konstrukce přepracována, protože při extrémních zemětřesení není bezpečná. Pro 0,10 ≤ θx ≤ 0,40 lze síly a momenty způsobené zemětřesením vynásobit faktorem zvětšení (1+θx ), aby byly zohledněny účinky P-delta. Tento faktor zvětšení nemusí být použit u posunů.
Přibližné zohlednění účinků P-Delta se součiniteli zvětšení
Hodnotu součinitele stability je třeba spočítat v obou ortogonálních vodorovných směrech, aby bylo možné určit, zda P-Delta představuje problém. Pokud je třeba zohlednit vliv účinků druhého řádu v zadaných rozmezích pro jeden nebo oba směry, lze v přídavném modulu RF-/DYNAM Pro - Equivalent Loads snadno použít součinitel
z ASCE 7-16 [1] nebo (1 + θx ) z NBC 2015 [3] lze snadno zohlednit v přídavném modulu RF-/DYNAM Pro - Equivalent Loads. Všechny výsledné síly a/nebo výchylky se vynásobí nastavenou hodnotou.
Přesnější zohlednění účinků P-Delta pomocí geometrické matice tuhosti
Ačkoli lze sekundární účinky odhadnout výše uvedeným způsobem, jedná se o konzervativnější přístup. Pro případy, kdy dochází k velkým posunům podlaží nebo je třeba přesněji vypočítat účinky P-Delta, lze v přídavných modulech RF-/DYNAM Pro aktivovat vliv normálových sil.
Při dynamické analýze již nelze použít typické nelineární iterační výpočty pro účinky druhého řádu při zohlednění statické analýzy. Problém musí být linearizován, což se provádí aktivací geometrické matice tuhosti během analýzy. Při tomto přístupu se předpokládá, že svislá zatížení se nemění vlivem vodorovných účinků a že deformace jsou ve srovnání s celkovými rozměry konstrukce malé.
Koncept geometrické matice tuhosti je účinek napěťového zpevnění. Tahové normálové síly vedou ke zvýšené ohybové tuhosti prutu, zatímco tlakové normálové síly vedou ke snížení ohybové tuhosti. To lze snadno znázornit na příkladu lana nebo štíhlé tyče. Pokud na prut působí tahová síla, je ohybová tuhost výrazně větší než při působení tlakové síly. V případě tlaku má prut velmi malou nebo vůbec žádnou ohybovou tuhost, aby unesl působící boční zatížení.
Geometrickou matici tuhosti Kg lze odvodit z podmínek statické rovnováhy. Pro jednoduchost zde uvádíme pouze stupně volnosti vodorovných posunů.
Uvedené odvození je založeno na použití klopícího momentu v důsledku účinku lineárního posunu. Jedná se o zjednodušení pro ohybový prvek a přesný předpoklad pro příhradový prvek. Všimněte si, že matice je závislá pouze na délce prvku a normálové síle.
Přesnější stanovení geometrické matice tuhosti pro ohybové nosníky lze dosáhnout pomocí metody kubického posunu nebo analytického řešení diferenciální rovnice ohybové linie. Další informace o teorii a odvození najdete v publikaci Werkle [4].
Geometrické matice tuhostiKg se přičte k matici tuhosti systému K, a tak dostaneme upravenou matici tuhosti Kmod:
Kmod = K + Kg
V případě tlakových normálových sil tak dochází ke snížení tuhosti.
Použití geometrické matice tuhosti v programech RFEM a RF-DYNAM Pro
Použití redukce tuhosti pomocí geometrické matice tuhosti pro zohlednění účinků druhého řádu (P-Delta) při analýze spektra odezvy se provádí částečně v programu RFEM a částečně v modulu RF-DYNAM Pro.
Podrobný příklad podle ASCE 7 najdete v FAQ Jak mohu zohlednit analýzu druhého řádu pro seizmické posouzení? s přístupem ke stažení ve formátu PDF.
Dlubal webinář ASCE 7-16 Analýza spektra odezvy v programu RFEM konkrétně v čase 52:25 navíc poskytne podrobný pohled na pracovní postup v programech RFEM a RF-DYNAM Pro při použití matice geometrické tuhosti pro zohlednění účinků P-Delta jako podle ASCE 7.