Suavização das forças internas de superfície no RFEM

Pode selecionar diferentes opções no programa para apresentar os resultados não suavizados ou suavizados. Estas encontram-se descritas no manual online do RFEM.

• Manual online do RFEM 5

As opções de suavização que permitem avaliar as forças internas e tensões da superfície também são explicadas neste artigo técnico.

• KB 001571 | Distribuição de forças internas/tensões de superfícies – opções de suavização

O exemplo do artigo seguinte demonstra como é que as forças internas dos elementos finitos são utilizadas para determinar os valores durante a suavização. Além da posição de um elemento finito, a teoria das placas – Mindlin ou Kirchhoff – também tem um papel importante neste processo.

Exemplo: Placa de acordo com Mindlin e Kirchhoff

1 Exemplo

É criada uma placa como modelo bidimensional com as dimensões 4 m ⋅ 3 m. A placa está apoiada de forma articulada nas linhas de borda mais curtas de ambos os lados. A rotação das linhas de borda mais compridas é restringida por um encastramento. Para evitar os efeitos da deformação transversal, o coeficiente de Poisson do material é definido como zero. Para comparar a determinação das forças internas de acordo com as teorias de flexão de placas de Kirchhoff e Mindlin, é selecionada uma espessura de placa de 80 cm. Assim sendo, é admitida uma relação d/L = 0,2 na zona limite entre as duas teorias de flexão (ver FAQ 003158).

• faq | É suficiente realizar o cálculo com elementos de superfície ou é melhor utilizar elementos sólidos?

Para simplificar, o tamanho da malha de EF é definido para 1 m. Assim, existem 4 ⋅ 3 elementos finitos.

Sobre a placa atua uma carga de p = 5 kN/m². O peso próprio não é aplicado no caso de carga.

Forças internas não suavizadas

Os resultados do núcleo computacional para as forças internas v_x e m_x são considerados para uma secção longitudinal no centro da placa. A distribuição das forças internas não suavizadas elemento a elemento pode ser representada pela opção de visualização "Não contínuo". De acordo com as teorias de flexão de Mindlin e Kirchhoff, estão disponíveis as distribuições apresentadas na Figura 02.

2 Resultados não suavizados de acordo com Mindlin (à esquerda) e Kirchhoff (à direita)

Suavização padrão para nós interiores

Para nós de EF que se encontram dentro de uma superfície, a média aritmética é, inicialmente, calculada a partir dos valores nodais dos elementos finitos adjacentes. Para esta abordagem, os elementos devem estar numa superfície e no mesmo lado de uma possível linha interna. O nó não pode ser um nó definido pelo utilizador na superfície.

Para a posição de descontinuidade em x = 1,00 m, os valores são os seguintes internamente (o resultado deste passo não está disponível para a saída).

• Mindlin:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.5 · 2.5}{2} = 5$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{8.772 · 5.351}{2} = 7.061$$

  Suavização padrão para nós internos de acordo com Mindlin
• Kirchhoff:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.785 · 2.595}{2} = 5.19$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.954 · 7.904}{2} = 7.929$$

  Suavização padrão para nós internos de acordo com Kirchhoff

Suavização para nós de borda

Nas bordas de uma superfície (opção de suavização "Contínuo nas superfícies") ou de um modelo ("Totalmente contínuo"), não existem elementos finitos adjacentes que possam ser utilizados para a média dos valores nodais. Portanto, é utilizada uma abordagem diferente, realizada em dois passos.

No primeiro passo, os valores médios são calculados para os nós que não estão localizados na borda de uma superfície ou de um modelo. Os valores dos nós nas bordas são calculados de forma a manter os valores originais no centro dos elementos finitos. No segundo passo, são determinados os valores médios para os nós das bordas.

Para o nó de borda em x = 0,00 m, resultam os seguintes valores.

• Mindlin:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 7.5 · (7.5 - 5) = 10$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = \frac{5.351 · 2.982}{2} = 4.167$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 · (4.167 - 7.061) = 1.272$$

  Suavização para nós de borda de acordo com Mindlin
• Kirchhoff:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 7.785 · (7.785 - 5.19) = 10.381$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = \frac{7.954 · 0.379}{2} = 4.167$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 · (4.167 - 7.929) = 0.404$$

  Suavização para nós de borda de acordo com Kirchhoff

Forças de corte

Segundo Mindlin, as forças de corte são calculadas como primeira derivação da deformação.

Estes valores são determinados pelo núcleo computacional e utilizados diretamente. A suavização das forças de corte é então realizada conforme descrito acima, dependendo da posição do nó de EF na superfície.

Na teoria de flexão de acordo com Kirchhoff, as forças de corte são calculadas como terceira derivação da deformação.

Esta determinação do valor utilizando a terceira derivação diminui significativamente a precisão. Por essa razão, as forças de corte do núcleo computacional não são utilizadas, sendo determinadas a partir das derivações dos momentos de uma abordagem melhorada.

Os momentos m_x, m_y e m_xy das equações representam os valores suavizados que são determinados de acordo com os métodos descritos acima. Comparativamente ao núcleo computacional, estes permitem obter valores mais precisos para as forças de corte.

Momentos

Enquanto os valores de momento nos pontos de integração correspondem aos valores teóricos, a extrapolação resulta numa perda de precisão quando se utiliza a função paraboloide hiperbólica para a suavização. Um paraboloide hiperbólico apenas aproxima a distribuição dos momentos no elemento. Por isso, é utilizado um algoritmo melhorado que substitui a extrapolação por um método integral avançado de força de corte. Uma vez que a distribuição da força de corte no elemento de superfície é assumida como a forma de um paraboloide hiperbólico (superfície de segunda ordem), a integral desta superfície representa uma superfície de terceira ordem que apresenta a distribuição de momentos com maior precisão.

Esta abordagem corresponde às equações descritas acima para determinar as forças de corte através das derivações dos momentos. Os momentos são então determinados com as seguintes equações.

As constantes de integração m_x,0 e m_y,0 são calculadas a partir das condições do valor no centro do elemento.

Os valores das forças internas são determinados de acordo com os métodos descritos acima, as integrais por uma integração numérica. Os momentos assim determinados são depois suavizados de acordo com o método para nós interiores ou nós de borda.

Foram obtidos os seguintes valores neste exemplo segundo a teoria de flexão de Mindlin.

• Primeiro elemento:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 10 - 5 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 10 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = 4.167 = {\int }_0^{1}10 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{10}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5}{6} {\mathrm{x}}^3 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 4.167 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 - 4.167 = 0$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}{\left(1\right)}^{-} = 10 - \frac{5}{2} 0 = 7.5$$

  Primeiro elemento com base na teoria de flexão de acordo com Mindlin
• Segundo elemento:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 5 - 5 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 5 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1.5) = 9.167 = {\int }_0^{1}5 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5}{6} {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 1.667 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+} = 9.167 - 1.667 = 7.5$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{-} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+}}{2} = \frac{7.5 + 7.5}{2} = 7.5$$

  Segundo elemento com base na teoria de flexão de acordo com Mindlin

3 Distribuições suavizadas das forças internas v-x e m-x de acordo com Mindlin

Foram obtidos os seguintes com a teoria de flexão segundo Kirchhoff.

• Primeiro elemento:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 10.038 - 5.025 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 10.038 \mathrm{x} - \frac{5.025}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = 4.167 = {\int }_0^{1}10.038 \mathrm{x} - \frac{5.025}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{10.038}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5.025}{6} {\mathrm{x}}^3 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 4.182 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 - 4.182 = - 0.015 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}{\left(1\right)}^{-} = 10.038 - \frac{5.025}{2} - 0.015 = 7.511$$

  Primeiro elemento com base na teoria de flexão de acordo com Kirchhoff
• Segundo elemento:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 5.013 - 5.013 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 5.013 \mathrm{x} - \frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1.5) = 9.167 = {\int }_0^{1}5.013 \mathrm{x} - \frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5.013}{6} {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 1.671 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+} = 9.167 - 1.671 = 7.496$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{-} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+}}{2} = \frac{7.511 + 7.496}{2} = 7.503$$

  Segundo elemento com base na teoria da flexão de acordo com Kirchhoff

4 Distribuições suavizadas das forças internas v-x e m-x de acordo com Kirchhoff

No processo de suavização, os passos descritos acima são realizados gradualmente no programa. Os valores suavizados podem ser representados graficamente com a opção de visualização "Contínuo nas superfícies".

Base de dados de conhecimento

KB 001606 | Suavização das forças internas de superfície no RFEM