Vyhlazení vnitřních sil na ploše v RFEMu

Program nabízí různé možnosti zobrazení nevyhlazených nebo vyhlazených výsledků. Více jsou popsány v manuálu pro program RFEM.

• Online manuál RFEM 5

Možnosti vyhlazení vnitřních sil a napětí na plochách jsou popsány také v dřívějším odborném příspěvku.

• KB 001571 | Průběh vnitřních sil a napětí u ploch – možnosti vyhlazení

V našem příspěvku si na konkrétním příkladu ukážeme, jak jsou nespojité vnitřní síly na prvcích vyhlazeny pro snadnější vyhodnocení hodnot. Kromě polohy konečného prvku v tomto procesu hraje roli také teorie desek - Mindlin nebo Kirchhoff.

Příklad: Deska podle Mindlina a Kirchhoffa

1 Příklad

Vytvoříme dvourozměrný model desky o rozměrech 4 m x 3 m. Deska je kloubově uložena na hraničních liniích obou kratších stran. Natočení delších hraničních linií je omezeno vetknutím. Pro potlačení působení smykových deformací nastavíme Poissonův součinitel materiálu na nulu. Pro srovnání vnitřních sil stanovených pomocí teorie ohybu desek podle Kirchhoffa nebo Mindlina zvolíme tloušťku desky 80 cm. Poměr d/L = 0,2 je tak dán v mezní oblasti mezi oběma teoriemi ohybu (viz FAQ 003158).

• FAQ | Je výpočet dostatečný s plošnými prvky, nebo je lepší použít objemové prvky?

Velikost konečného prvku sítě nastavíme pro jednoduchost na 1 m. Tak dostaneme 4 x 3 konečných prvků.

Na desku působí zatížení p = 5 kN/m². Vlastní tíhu nebudeme v zatěžovacím stavu uvažovat.

Nevyhlazené vnitřní síly

Výsledky vnitřních sil v_x a m_x spočítané řešičem se vtahují na podélný řez probíhající středem desky. Průběh vnitřních sil na prvcích bez vyhlazení lze znázornit volbou "Nespojitě". Průběhy podle teorií Mindlina a Kirchhoffa jsou znázorněné na Obrázku 02.

2 Nevyhlazené výsledky podle Mindlina (vlevo) a Kirchhoffa (vpravo)

Standardní vyhlazení pro vnitřní uzly

U uzlů sítě KP ležících uvnitř plochy se nejdříve vytvoří aritmetický průměr z uzlových hodnot sousedních konečných prvků. Pro tento postup musí prvky ležet na jedné ploše a na stejné straně případné vnitřní linie. Uzel nesmí být uživatelsky definovaným uzlem v ploše.

Pro bod nespojitosti v x = 1,00 m jsou tyto interní hodnoty následující (výsledek tohoto kroku není k dispozici pro výstup).

• Mindlin:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.5 · 2.5}{2} = 5$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{8.772 · 5.351}{2} = 7.061$$

  Standardní vyhlazení vnitřních uzlů podle Mindlina
• Kirchhoff:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.785 · 2.595}{2} = 5.19$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.954 · 7.904}{2} = 7.929$$

  Standardní vyhlazení vnitřních uzlů podle Kirchhoffa

Vyhlazení pro okrajové uzly

Na okrajích plochy (vyhlazovací volba "Spojitě po ploše") nebo modelu ("Spojitě celkem") neexistují žádné sousední konečné prvky, které by se mohly použít při průměrování uzlových hodnot. Proto použijeme jiný přístup, který se provádí ve dvou krocích.

V prvním kroku se spočítají průměrné hodnoty pro uzly, které se nenacházejí na okraji plochy nebo modelu. Hodnoty v uzlech na okrajích se počítají tak, aby původní hodnoty zůstaly zachovány ve středu konečných prvků. V druhém kroku se pak stanoví průměrné hodnoty pro okrajové uzly.

Hodnoty pro okrajové uzly jsou v x = 0,00 m následující.

• Mindlin:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 7.5 · (7.5 - 5) = 10$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = \frac{5.351 · 2.982}{2} = 4.167$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 · (4.167 - 7.061) = 1.272$$

  Vyhlazení okrajových uzlů podle Mindlina
• Kirchhoff:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 7.785 · (7.785 - 5.19) = 10.381$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = \frac{7.954 · 0.379}{2} = 4.167$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 · (4.167 - 7.929) = 0.404$$

  Vyhlazení okrajových uzlů podle Kirchhoffa

Smykové síly

Podle Mindlina se smykové síly počítají jako první derivace průhybu.

Tyto hodnoty spočítá řešič a použijí se přímo. Vyhlazení smykových sil se provádí tak, jak bylo popsáno výše, podle polohy uzlu sítě konečných prvků v ploše.

V Kirchhoffově teorii ohybu se smykové síly spočítají jako třetí derivace průhybu.

Toto stanovení hodnot použitím třetí derivace vede k výrazné ztrátě přesnosti. Z toho důvodu se smykové síly z řešiče nepoužívají, ale stanovují se vylepšeným postupem pomocí derivací momentů.

Momenty m_x , m_y a m_xy v rovnici představují vyhlazené hodnoty, které se určují metodami popsanými výše. Výsledkem jsou přesnější hodnoty smykových sil než ty, které obdržíme přímo z řešiče.

Momenty

Zatímco hodnoty momentů v integračních bodech odpovídají teoretickým hodnotám, extrapolace při vyhlazování vede při použití hyperbolické paraboloidní funkce ke ztrátě přesnosti. Hyperbolický paraboloid nahrazuje průběh momentů na prvku pouze přibližně. Z tohoto důvodu se používá vylepšený algoritmus, který nahrazuje extrapolaci pokročilou metodou integrace smykových sil. Předpokládáme-li, že průběh smykových sil na plošném prvku má tvar hyperbolického paraboloidu (plocha druhého řádu), představuje integrál této plochy plochu třetího řádu, která nahrazuje průběh momentů s větší přesností.

Tento přístup odpovídá výše uvedeným rovnicím pro stanovení smykových sil pomocí derivací momentů. Momenty se pak určí pomocí následujících rovnic:

Integrační konstanty m_x,0 a m_y,0 jsou vypočteny pomocí hodnoty ve středu prvku.

Hodnoty vnitřních sil se počítají metodami popsanými výše, integrály se počítají numerickou integrací. Takto zjištěné momenty se pak vyhlazují metodou pro vnitřní nebo okrajové uzly.

Pro teorii ohybu podle Mindlina dostaneme pro náš příklad následující hodnoty.

• První prvek:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 10 - 5 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 10 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = 4.167 = {\int }_0^{1}10 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{10}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5}{6} {\mathrm{x}}^3 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 4.167 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 - 4.167 = 0$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}{\left(1\right)}^{-} = 10 - \frac{5}{2} 0 = 7.5$$

  První prvek využívající ohybovou teorii podle Mindlina
• Druhý prvek:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 5 - 5 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 5 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1.5) = 9.167 = {\int }_0^{1}5 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5}{6} {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 1.667 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+} = 9.167 - 1.667 = 7.5$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{-} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+}}{2} = \frac{7.5 + 7.5}{2} = 7.5$$

  Druhý prvek využívající ohybovou teorii podle Mindlina

3 Vyhlazený průběh vnitřních sil v-x a m-x podle Mindlina

Pro teorii ohybu podle Kirchhoffa získáme následující hodnoty.

• První prvek:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 10.038 - 5.025 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 10.038 \mathrm{x} - \frac{5.025}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = 4.167 = {\int }_0^{1}10.038 \mathrm{x} - \frac{5.025}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{10.038}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5.025}{6} {\mathrm{x}}^3 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 4.182 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 - 4.182 = - 0.015 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}{\left(1\right)}^{-} = 10.038 - \frac{5.025}{2} - 0.015 = 7.511$$

  První prvek využívající ohybovou teorii podle Kirchhoffa
• Druhý prvek:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 5.013 - 5.013 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 5.013 \mathrm{x} - \frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1.5) = 9.167 = {\int }_0^{1}5.013 \mathrm{x} - \frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5.013}{6} {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 1.671 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+} = 9.167 - 1.671 = 7.496$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{-} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+}}{2} = \frac{7.511 + 7.496}{2} = 7.503$$

  Druhý prvek využívající ohybovou teorii podle Kirchhoffa

4 Vyhlazený průběh vnitřních sil v-x a m-x podle Kirchhoffa

Při vyhlazování průběhů se v programu postupně provádějí výše popsané kroky. Vyhlazené hodnoty můžeme zobrazit graficky pomocí možnosti zobrazení "Spojitě po ploše".

Databáze znalostí

KB 001606 | Vyhlazení vnitřních sil na ploše v RFEMu