Uśrednianie sił wewnętrznych w powierzchni w programie RFEM

W ustawieniach programu dostępnych jest wiele opcji wyświetlania wyników uwzględniających uśrednianie lub jego brak. Są one opisane w instrukcji programu RFEM.

• Instrukcja online RFEM 5

W tym artykule technicznym natomiast wyjaśniono opcje uśredniania w celu oceny sił wewnętrznych i naprężeń powierzchniowych.

• KB 001571 | Wykres sił wewnętrznych/naprężenia powierzchniowe - opcje wygładzania

Poniższy przykład przedstawia sposób, w jaki siły wewnętrzne w elementach skończonych, stosowane do uśredniania, używane są do określania dalszych wartości. Oprócz położenia elementu skończonego istotną rolę w tym procesie odgrywa teoria płyt - Mindlin lub Kirchhoff.

Przykład: Płyta według Mindlina i Kirchhoffa

1 Przykład

Płyta o wymiarach 4 m ⋅ 3 m jest tworzona jako model dwuwymiarowy. Płyta jest podparta przegubowo na krótszych bokach. Obrót boków dłuższych jest częściowo ograniczony. Aby uniknąć efektów odkształceń poprzecznych, współczynnik Poissona materiału zostaje ustawiony na zero. Aby porównać wyznaczanie sił wewnętrznych zgodnie z teoriami zginania płyty według Kirchhoffa i Mindlina, wysokość płyty zostaje przyjęta jako 80 cm. Stosunek d/L = 0,2 znajduje się zatem w strefie granicznej między dwiema teoriami zginania (patrz FAQ 003158).

• faq | Czy wystarczy przeprowadzić obliczenia z elementami powierzchniowymi, czy lepiej zastosować elementy bryłowe?

Dla uproszczenia rozmiar siatki ES jest ustawiony na 1 m. Zatem istnieją 4 ⋅ 3 elementy skończone.

Na płytę oddziałuje obciążenie p = 5 kN/m². Ciężar własny nie jest brany pod uwagę.

Nieuśrednione siły wewnętrzne

Analizowano przebieg sił wewnętrznych v_x i m_x dla przekroju podłużnego w środku rozpiętości płyty. Rozkład nieuśrednionych sił wewnętrznych, element po elemencie, można przedstawić za pomocą opcji wyświetlania „Nieciągłe”. Wykresy przebiegu sił według obu teorii przedstawiono rys. 02.

2 Nieuśrednione wyniki według Mindlina (po lewej) i Kirchhoffa (po prawej)

Standardowe uśrednianie węzłów wewnętrznych

W przypadku wewnętrznych ES, średnia arytmetyczna jest najpierw tworzona na podstawie wartości węzłowych sąsiednich elementów skończonych. W przypadku tego podejścia elementy muszą być elementami wewnętrznymi powierzchni i po tej samej stronie linii wewnętrznej. Węzeł nie może być węzłem zdefiniowanym przez użytkownika.

W przypadku lokalizacji x = 1,00 m wartości te są następujące (wynik tego kroku nie jest dostępny dla danych wyjściowych).

• Mindlin:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.5 · 2.5}{2} = 5$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{8.772 · 5.351}{2} = 7.061$$

  Standardowe wygładzanie dla węzłów wewnętrznych według Mindlin
• Kirchhoff:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.785 · 2.595}{2} = 5.19$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{7.954 · 7.904}{2} = 7.929$$

  Standardowe uśrednianie węzłów wewnętrznych według Kirchhoffa

Uśrednianie węzłów krawędziowych

Na krawędziach powierzchni (opcja wygładzania „Ciągłe w obrębie powierzchni”) lub modelu („Ciągła suma”) nie ma sąsiadujących elementów skończonych, które można by wykorzystać do uśrednienia wartości węzłowych. Dlatego stosuje się inne podejście, które przebiega w dwóch etapach.

W pierwszym kroku obliczane są uśrednione wartości dla tych węzłów, które nie znajdują się na krawędzi powierzchni lub modelu. Wartości węzłów na krawędziach oblicza się w taki sposób, aby pierwotne wartości pozostały w środkach elementów skończonych. W drugim etapie określane są uśrednione wartości dla węzłów krawędzi.

Dla węzła krawędziowego x = 0,00 m wartości sił wynoszą kolejno:

• Mindlin:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 7.5 · (7.5 - 5) = 10$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = \frac{5.351 · 2.982}{2} = 4.167$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 · (4.167 - 7.061) = 1.272$$

  Wygładzanie węzłów krawędziowych według Mindlina
• Kirchhoff:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 7.785 · (7.785 - 5.19) = 10.381$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = \frac{7.954 · 0.379}{2} = 4.167$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 · (4.167 - 7.929) = 0.404$$

  Wygładzanie węzłów krawędziowych według Kirchhoffa

Siły tnące

Według Mindlina siły tnące są obliczane jako pierwsza pochodna ugięcia.

Obliczone wartości są zatem stosowane bezpośrednio. Uśrednianie sił tnących jest następnie przeprowadzane w sposób opisany powyżej, w zależności od położenia węzła ES w powierzchni.

W teorii zginania według Kirchhoffa siły tnące są obliczane jako trzecia pochodna ugięcia.

Określenie wartości przy użyciu trzeciej pochodnej powoduje znaczną utratę dokładności. Z tego powodu wartości sił nie są wykorzystywane, lecz są określane na podstawie pochodnych momentów, w drodze ulepszonego podejścia.

Momenty m_x, m_y i m_xy w równaniach reprezentują wartości uśrednione, które są określone zgodnie z metodami opisanymi powyżej. Wynikiem są dokładniejsze wartości sił tnących niż w przypadku obliczania ich za pomocą rdzenia.

Momenty

Podczas gdy wartości momentów w punktach całkowania odpowiadają wartościom teoretycznym, ekstrapolacja przy uśrednianiu z wykorzystaniem funkcji paraboloidy hiperbolicznej prowadzi do utraty dokładności. Paraboloida hiperboliczna jedynie aproksymuje rozkład momentu w elemencie. Z tego powodu stosuje się ulepszony algorytm, który zastępuje ekstrapolację zaawansowaną metodą całkowania sił tnących. Ponieważ zakłada się, że rozkład siły tnącej w elemencie powierzchniowym ma kształt paraboloidy hiperbolicznej (powierzchni drugiego rzędu), całka tej powierzchni reprezentuje powierzchnię trzeciego rzędu, która pokazuje rozkład momentu z większą dokładnością.

Podejście to odpowiada równaniom opisanym powyżej do wyznaczania sił tnących na podstawie pochodnych momentów. Momenty są następnie określane za pomocą następujących równań.

Stałe całkowania m_x, 0 oraz m_y, 0 są obliczane na podstawie wartości w środku elementu.

Wartości sił wewnętrznych są określane metodami opisanymi powyżej, a całki przez całkowanie numeryczne. Wyznaczone w ten sposób momenty są następnie uśredniane zgodnie z metodą dla węzłów wewnętrznych lub krawędziowych.

Z teorii zginania według Mindlina otrzymamy następujące wartości.

• Pierwszy element:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 10 - 5 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 10 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = 4.167 = {\int }_0^{1}10 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{10}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5}{6} {\mathrm{x}}^3 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 4.167 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 - 4.167 = 0$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}{\left(1\right)}^{-} = 10 - \frac{5}{2} 0 = 7.5$$

  Pierwszy element wykorzystujący teorię zginania według Mindlina
• Drugi element:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 5 - 5 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 5 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1.5) = 9.167 = {\int }_0^{1}5 \mathrm{x} - \frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{5}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5}{6} {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 1.667 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+} = 9.167 - 1.667 = 7.5$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{-} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+}}{2} = \frac{7.5 + 7.5}{2} = 7.5$$

  Drugi element wykorzystujący teorię zginania według Mindlina

3 Uśrednione rozmieszczenie sił wewnętrznych v-x i m-x według Mindlina

Zgodnie z teorią zginania według Kirchhoffa, uzyskane zostają następujące wartości.

• Pierwszy element:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 10.038 - 5.025 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 10.038 \mathrm{x} - \frac{5.025}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(0.5) = 4.167 = {\int }_0^{1}10.038 \mathrm{x} - \frac{5.025}{2} {\mathrm{x}}^2 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{10.038}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5.025}{6} {\mathrm{x}}^3 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 4.182 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(0\right) = 4.167 - 4.182 = - 0.015 {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}{\left(1\right)}^{-} = 10.038 - \frac{5.025}{2} - 0.015 = 7.511$$

  Pierwszy element wykorzystujący teorię zginania według Kirchhoffa
• Drugi element:
  $${\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = 5.013 - 5.013 \mathrm{x}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right) = \int {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}\mathrm{dx} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = 5.013 \mathrm{x} - \frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},\mathrm{C}} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1.5) = 9.167 = {\int }_0^{1}5.013 \mathrm{x} - \frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\left[\frac{5.013}{2} {\mathrm{x}}^2 - \frac{5.013}{6} {\mathrm{x}}^3 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}\mathrm{x}\right]}_0^1 = 1.671 + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0}$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x},0} = {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+} = 9.167 - 1.671 = 7.496$$

  $${\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}\left(1\right) = \frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{-} + {\mathrm{m}}_{\mathrm{x}}(1{)}^{+}}{2} = \frac{7.511 + 7.496}{2} = 7.503$$

  Drugi element wykorzystujący teorię zginania według Kirchhoffa

4 Uśrednione rozmieszczenie sił wewnętrznych v-x i m-x według Kirchhoffa

W procesie uśredniania kroki opisane powyżej są wykonywane w programie stopniowo. Uśrednione wartości można wyświetlić graficznie za pomocą opcji wyświetlania „Ciągłe w obrębie powierzchni”.

Baza informacji

KB 001606 | Uśrednianie sił wewnętrznych w powierzchni w programie RFEM