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15. Januar 2024

VE0052 | Kragarm mit Momentenbelastung am freien Ende

Beschreibung

Ein Kragarm wird an seinem freien Ende durch das Moment M belastet. Unter Verwendung der geometrisch-linearen Analyse und der Theorie III. Ordnung sowie unter Vernachlässigung des Eigengewichts des Trägers' sind die maximalen Durchbiegungen u_x und u_z am freien Ende zu bestimmen. Dieses Verifikationsbeispiel basiert auf dem von Gensichen und Lumpe vorgestellten Beispiel (siehe Literatur).

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
Material	Stahl	Schubmodul	G	81000,000	MPa
Geometrie	Rohrüberstand	Länge	L	4,000	m
		Durchmesser	d	42,400	mm
		Wanddicke	t	4,000	mm
Last		Biegemoment	M	3,400	kNm

Kragarm mit Momentenbelastung am freien Ende

Analytische Lösung

Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Berechnung)

Unter Berücksichtigung der Theorie I. Ordnung kann das Problem nach der Euler-Bernoulli-Gleichung gelöst werden. Für die vorgegebene Geometrie, Belastung und Randbedingungen ergibt sich die maximale Durchbiegung u_z,max :

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Maximale Durchbiegung – Theorie I. Ordnung

Die Durchbiegung u_x,max unter Berücksichtigung der Theorie I. Ordnung ist Null.

Theorie III. Ordnung

Ein Balkenstab in der Theorie III. Ordnung wird durch die nichtlineare Differenzgleichung beschrieben und wird in folgendem Bild veranschaulicht.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Differenzgleichung der Trägerdurchbiegung

Kragarm mit Momentenbelastung am freien Ende - Theorie III. Ordnung

Der Term auf der rechten Seite ist konstant und folglich ist auch die linke Seite, welche direkt die Trägerkrümmung κ ist, konstant. Die einzige Kurve, die eine konstante Krümmung aufweist, ist der Kreis, daher ist die Lösung dieses Problems ein Kreisbogen mit dem Radius R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Maximale Durchbiegung in x-Richtung – Theorie III. Ordnung

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Maximale Durchbiegung in z-Richtung – Theorie III. Ordnung

R = Radius des Kreisbogens Der Winkel des Kreisbogens α beträgt α=L/R.

RFEM- und RSTAB-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.05, RSTAB 8.05 und RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Die Elementgröße beträgt l_FE = 0,400 m
Die Anzahl der Inkremente beträgt 5.
Es wird ein isotropes linear-elastisches Materialmodell vorausgesetzt.
Schubsteifigkeit der Stäbe ist aktiviert
Stabteilung bei Theorie III. Ordnung bzw. Durchschlagproblem ist aktiviert

Ergebnisse

u_x,max [m]	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RSTAB 9	Verhältnis
Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Berechnung)	0,000	0,000
0,000
Theorie III. Ordnung	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_z,max [m]	Analytische Lösung	RFEM 6	Verhältnis	RSTAB 9	Verhältnis
Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Berechnung)	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Theorie III. Ordnung	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_x,max [m]	Analytische Lösung	RFEM 5	Verhältnis	RSTAB 8	Verhältnis
Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Berechnung)	0,000	0,000
0,000
Theorie III. Ordnung	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_z,max [m]	Analytische Lösung	RFEM 5	Verhältnis	RSTAB 8	Verhältnis
Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Berechnung)	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
Theorie III. Ordnung	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

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Verifikationsbeispiel 000052 | 1

Referenzen

LUMPE, G. and GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorieund Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

Gensichen

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