888x

2024-01-15

VE0052 | Консоль с моментом на свободном конце

Описание работы

Консоль нагружена моментом M на свободном конце. С помощью геометрически линейного расчета и расчета больших деформаций, пренебрегая собственным весом балки, определите максимальные прогибы u_x и u_z на свободном конце. Контрольный пример основан на примере, представленном Gensichen и Lumpe (см. ссылку).

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000,000	МПа
Модуль сдвига	[LinkToImage06]	81000,000	МПа
Геометрия	Трубчатая консоль	Длительность	[LinkToImage03]	4,000	м
Диаметр	d	42,400	мм
Направление стены	t	4,000	мм
Нагрузки		изгибающий момент	M	3,400	кНм

Консоль с моментом на свободном конце

Аналитическое решение

Геометрически линейный расчет

Однако, с учетом геометрически линейного расчета, можно данную проблему решить по уравнению Эйлера-Бернулли. Для данной геометрии, нагрузки и граничных условий результирующий максимальный прогиб u_z,max равен:

$u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}$

Максимальный прогиб - геометрически линейный расчет

Прогиб u_{x,max с} учетом геометрически линейного расчета равен нулю.

расчет по большим деформациям

Балка в расчете больших деформаций описывается нелинейным дифференциальным уравнением, которое показано на следующем рисунке.

$κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}$

Дифференциальное уравнение для прогиба балки

Консоль с моментом на свободном конце - расчет больших деформаций

Составляющая в правой части балки постоянна, и, следовательно, левая часть, которая непосредственно является кривизной балки κ, также постоянна. Единственная кривая с постоянной кривизной - это окружность, поэтому решением данной задачи является дуга окружности радиуса R.

$u_{x, \max} = Rsinα - L$

Максимальный прогиб в направлении x - расчет больших деформаций

$u_{z, \max} = R (1 - cosα)$

Максимальный прогиб вдоль z - расчет больших деформаций

R - радиус дуги окружности. Угол дуги окружности α равен α=L/R.

Настройки программы RFEM и RSTAB

Смоделировано в программе RFEM 5.05, RSTAB 8.05 и RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Размер элемента равен l_FE = 0,400 м
Количество приращений - 5
Используется изотропная линейная упругая модель материала
Включена жесткость на сдвиг стержней
Активировано деление стержней для расчета больших деформаций или посткритического расчета

Результаты

u_{x, max} [м]	Аналитическое решение	Rfem 6	сечения	RSTAB 9	сечения
Геометрически линейный расчет	0,000	0,000	-	0,000	-
расчет по большим деформациям	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, max} [м]	Аналитическое решение	Rfem 6	сечения	RSTAB 9	сечения
Геометрически линейный расчет	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
расчет по большим деформациям	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, max} [м]	Аналитическое решение	RFEM 5	сечения	RSTAB 8	сечения
Геометрически линейный расчет	0,000	0,000	-	0,000	-
расчет по большим деформациям	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, max} [м]	Аналитическое решение	RFEM 5	сечения	RSTAB 8	сечения
Геометрически линейный расчет	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
расчет по большим деформациям	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

396x

Контрольный пример 000052 | 1

Ссылки

LUMPE, G.: и GENSITEN, V. Теория и программное обеспечение для оценки линейного и нелинейного расчета стержней: Контрольные примеры, причины выхода из работы, подробная теория. Ernest,

Гензишен

;