890x

2024-01-15

VE0052 | Wspornik z obciążeniem momentem na wolnym końcu

Opis prac

Wspornik jest obciążony momentem M na jego wolnym końcu. Korzystając z analizy geometrycznej liniowej i analizy dużych deformacji oraz pomijając ciężar własny belki, należy określić maksymalne ugięcia u_x i u_z na swobodnym końcu. Przykład obliczeniowy oparty jest na przykładzie opracowanym przez Gensichen i Lumpe (patrz odnośnik).

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000,000	MPa
Materiał	Stal	Moduł ścinania	[SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]	81000,000	MPa
Geometria	Wspornik rurowy	obwiednia	[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	4,000	m
		Średnica	[CRASHREASON.DESCRIPTION]	42,400	mm
		grubość ściany	t	4,000	mm
Obciążenie	moment zginający	M	3,400	kNm

Wspornik z obciążeniem momentem na wolnym końcu

Rozwiązanie analityczne

Analiza pierwszego rzędu

Biorąc pod uwagę liniową analizę geometryczną, problem można rozwiązać za pomocą równania Eulera-Bernoulliego. Dla zadanej geometrii, obciążenia i warunków brzegowych, wynikowe maksymalne ugięcie u_z,max wynosi:

u_{z, \max} = \frac{{ML}^{2}}{2 {EI}_{y}}

Maksymalne ugięcie - geometrycznie liniowa analiza

Ugięcie u_x,max przy uwzględnieniu analizy geometrycznie liniowej wynosi zero.

Analiza dużych deformacji

Belka w analizie dużych deformacji jest opisana nieliniowym równaniem różniczkowym i została przedstawiona na poniższym rysunku.

κ (x) = \frac{u_{z}'' (x)}{{[1 + (u_{z}' (x))^{2}]}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{M}{{EI}_{y}}

Równanie różniczkowe ugięcia belki

Wspornik z obciążeniem momentem na wolnym końcu - analiza dużych deformacji

Element po prawej stronie jest stały, a zatem lewa strona, będąca bezpośrednio zakrzywieniem belki κ, również jest stała. Jedyną krzywą, która ma stałą krzywiznę, jest okrąg, dlatego rozwiązaniem tego problemu jest łuk kołowy o promieniu R.

u_{x, \max} = Rsinα - L

Maksymalne ugięcie w kierunku x - analiza dużych deformacji

u_{z, \max} = R (1 - cosα)

Maksymalne ugięcie w kierunku z - Analiza dużych deformacji

R jest promieniem łuku kołowego. Kąt łuku kołowego α wynosi α=L/R.

Ustawienia RFEM i RSTAB

Modelowany w RFEM 5.05, RSTAB 8.05 i RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Rozmiar elementu wynosi l_FE = 0,400 m
Liczba przyrostów wynosi 5
Zastosowano izotropowy liniowo sprężysty model materiałowy
Sztywność prętów na ścinanie jest aktywowana
Podział pręta dla dużych deformacji lub analizy postkrytycznej jest aktywowany

Wyniki

u_{x, maks.} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Stosunek	RSTAB 9	Stosunek
Analiza pierwszego rzędu	0,000	0,000	-	0,000	-
analiza dużych deformacji	-0,337	-0,336	0,997	-0,336	0,997

u_{z, maks.} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6	Stosunek	RSTAB 9	Stosunek
Analiza pierwszego rzędu	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
analiza dużych deformacji	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

u_{x, maks.} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RSTAB 8	Stosunek
Analiza pierwszego rzędu	0,000	0,000	-	0,000	-
analiza dużych deformacji	-0,337	-0,338	1,003	-0,337	1,000

u_{z, maks.} [m]	Rozwiązanie analityczne	RFEM 5	Stosunek	RSTAB 8	Stosunek
Analiza pierwszego rzędu	1,441	1,441	1,000	1,441	1,000
analiza dużych deformacji	1,379	1,380	1,001	1,380	1,001

396x

Przykład weryfikacji 000052 | 1

Odniesienia

LUMPE, G. oraz GENSITEN, V. Analiza liniowej i nieliniowej analizy prętów w teorii i oprogramowaniu: Przykłady testowe, przyczyny awarii, szczegółowa teoria. Ernesta.

Gensichen

;