Posouzení betonového nosníku podle ACI 318-14 v programu RFEM

Popis

Dvojitě vyztužený betonový nosník, zobrazený na obrázku 01, bude posouzen v mezním stavu únosnosti podle ACI 318-14 [1] s využitím LRFD výpočtových kombinací zatížení. Na nosník působí neupravené rovnoměrné vlastní zatížení 2,0 kip/ft a užitné zatížení 3,2 kip/ft. Zvolený obdélníkový nosník má celkový průřez 25 in x 11 in. Použitý beton má pevnost v tlaku (f'_c) 5 000 psi, výztužná ocel má mez kluzu (f_y) 60 000 psi. Tlaková výztuž (A'_s) se skládá ze dvou prutů #8 s vzdáleností těžiště (d') 3,0 in od horního tlačeného vlákna s celkovou plochou 1,57 in². Tahová výztuž (A_s) se skládá ze šesti prutů #8, přičemž vzdálenost těžiště (d) činí 20,5 in od horního tlačeného vlákna s celkovou plochou 4,71 in². Smyková výztuž (A_v) obsahuje třmínky #4 o celkové ploše 0,4 in². Rozměry a pracovní diagram pro průřez nosníku jsou znázorněny na obrázku 1.

Pracovní diagram pro železobetonový průřez

Momentová únosnost

Požadovaný jmenovitý moment M_u působený zatížením je 4512,00 kip-in. Odvození rovnice pro nalezení jmenovitého momentu vyžaduje následující předpoklady.

Ocel v tlaku nedosáhne meze kluzu: ε'_s < ε_y → f'_s = E_s ⋅ ε'_s
Ocel v tahu dosáhne meze kluzu: ε_s ≥ ε_y → f_s = f_y

Analýzou pracovního diagramu lze nalézt neutrálnou osu pomocí níže uvedené rovnice. Rovnici odvodíme tak, že tlakové síly dáme rovny tahovým silám, aby bylo dosaženo rovnováhy:
T_s = C'_s + C_c → A_s ⋅ f_y - A'_s ⋅ f'_s - 0,85 ⋅ f'_c ⋅ a ⋅ b = 0

Pomocí podobných trojúhelníků z deformačního diagramu můžeme předpokládat:

Víme také, že: a = β₁ ⋅ C_NA

Dosazením β₁ ⋅ C_NA a

Pomocí tabulky 22.2.2.4.3 z ACI 318 - 14 [1] stanovíme β₁ rovno 0,80. C_NA pak vychází 5,83 in od horního krajního tlačeného vlákna.

Výše uvedené předpoklady (1 a 2) je třeba ověřit. Pro předpoklad 1 vypočteme deformaci v tlačené oceli (ε'_s) a porovnáme s deformací na mezi kluzu (ε_y). Pokud je ε'_s menší než ε_y , je náš předpoklad správný. Pro předpoklad 2 vypočteme deformaci tahové výztuže (ε_s) a porovnáme ji s ε _y . Pokud je ε_s větší než ε_y , pak je náš předpoklad správný. Pomocí výpočtů (neuvedeno) ověříme předpoklady 1 a 2.

Nakonec pro výpočet jmenovitého momentu (M_n) položíme součet momentů okolo daného místa betonu v tlaku (C_c) roven nule. To můžeme odvodit z grafu na obrázku 1.

Dostaneme rovnici:

Než můžeme vyřešit M_n, musíme dosadit C'_s a T_s za

Dostaneme rovnici:

Před výpočtem M_n musíme také vypočítat a vynásobením β₁ a C_NA .

a = 4,66 in

Tím, že dosadíme tyto hodnoty do rovnice pro M_n, dostaneme následující:

M _n nám vyjde 5122,69 kip-in.

Nakonec stanovíme součinitel spolehlivosti (φ) z tabulky 21.2.2 z ACI 318 -14 [1]. Pro stanovení φ porovnáme tahovou deformaci s mezní deformací 0,005. ε_t je rovna 0,00755 a je větší než 0,005. Nosník podléhá tahu. Z tabulky 21.2.2 se φ rovná 0,90. Po vynásobení M_n tímto součinitelem dostaneme φM_n rovno 4610,42 kip-in. Momentová únosnost nosníku je tedy dostačující proti působícímu ohybového momentu.

φM_n > M_u = 4512,00 kip-in o.k.

Smyková pevnost

Poznámka: Účinná hloubka (d) pro výpočet smyku se bere jako 22,5 palce oproti 20,5 palce uvedeným v popisu problému. Působiště maximální smykové síly je také místem minimálního ohybového momentu (v podpoře). Pro porovnání analytických výpočtů s návrhem výztuže v přídavném modulu RF-CONCRETE Members je nutné si povšimnout, že přídavný modul odvozuje účinnou výšku od požadované tahové výztuže spíš než od navržené tahové výztuže. Proto je při minimálním ohybovém momentu na ploše podpory nutná pouze jedna vrstva tahové výztuže při vzpěrné hloubce 22,5 palce.

Na základě ust. 22.5.1.1 [1] vypočítáme jmenovitou smykovou pevnost nosníku (V_n). Pro výpočet jmenovitého smyku použijeme následující rovnici:
V_n = φ ⋅ (V_c + V_s)

Podle tabulky 22.5.5.1 [1] se pevnost betonu ve smyku_Vc rovná minimu ze vztahů a, b, ac vypočítaného v bodech 1, 2 a 3 níže.

1. Rovnice a:

   ${\mathrm{V}}_{\mathrm{c}-\mathrm{a}} = \left(1.9 · \mathrm{\lambda } · \sqrt{\mathrm{f}{\text{'}}_{\mathrm{c}}} 2,500 · {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{w}} · \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{u}} · \mathrm{d}}{{\mathrm{M}}_{\mathrm{u}}}\right) · {\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}, \mathrm{with} \mathrm{\lambda } = 1$

   Vzorec 7

   M_u nastává v bodě V_u, což je vzdálenost d od plochy podpory (viz kapitola 9.4.3.2 [1] ). M_u se tedy rovná 1533,38 kip-in. V_u = 61,10 kips.

   ${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{w}} = \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}} = 0.01992$

   Vzorec 8

   V_c-a = 44,96 kips

2. Rovnice b:

   ${\mathrm{V}}_{\mathrm{c}-\mathrm{b}} = \left(1.9 · \mathrm{\lambda } · \sqrt{\mathrm{f}{\text{'}}_{\mathrm{c}}} 2,500 · {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{w}}\right) · {\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}$

   Vzorec 9

   V_c-b = 46,26 kips

3. Rovnice c:

   ${\mathrm{V}}_{\mathrm{c}-\mathrm{c}} = 3.5 · \mathrm{\lambda } · \sqrt{\mathrm{f}{\text{'}}_{\mathrm{c}}} · {\mathrm{b}}_{\mathrm{w}} · \mathrm{d}$

   Vzorec 10

   V_c-c = 61,25 kips

Výběrem minimální hodnoty z výše uvedených rovnic dostaneme V_c rovno 44,96 kips.

Minimální smyková výztuž se stanoví podle jmenovitého smyku pro výpočet betonu podle § 200b. 9.6.3 [1]. Pokud je zde požadovaná smyková pevnost V_u menší než 0,5 ⋅ φ ⋅ V_c, pak je nutná smyková výztuž.

V_u < 0,5 ⋅ φ ⋅ V_c
kde:
φ = 0,75 (tabulka 21.2.1 [1])

Proto V_u = 61,10 kips > 16,86 kips. Třmínky jsou nutné.

Teoretická vzdálenost se stanoví podle čl. 9.5.1.1 [1]:
φ ⋅ V_n > V_u

Dosadíme (V_c + V_s) za V_n.

Takže V_s > 36,51 kips.

Od ust. 22.5.10.5.3 [1] použijeme pro výpočet požadované smykové pevnosti oceli následující rovnici:

Kde f_yt je mez kluzu oceli výztuže v tahu a d je vzdálenost od horního tlačeného vlákna ke středu tahové výztuže.

Maximální vzdálenost je vypočtena na 14,79 palce. Pro smykovou výztuž je použita vzdálenost 14 palců. Při použití vzdálenosti s = 14 palců se počítá výše uvedená rovnice pro pevnost oceli ve smyku V_s na hodnotu 38,57 kips.

Pomocí tabulky 9.7.6.2.2 [1] se stanoví maximální vzdálenost smykové výztuže. Následující rovnicí stanovíme, která z rovnic v tabulce 9.7.6.2.2 se použije:

Smyková pevnost oceli V_s = 38,57 kips je menší než vypočtená hodnota 70,00 kips. Z tabulky 9.7.6.2.2 se stanoví maximální vzdálenost smykové výztuže pomocí nejmenší hodnoty z následujících výpočtů:

Maximální smyková vzdálenost je stanovena na 11,25 palce. Smyková vzdálenost stanovená dříve pomocí prutů #4 s roztečí 14 palců není dostatečná a měla by se místo toho použít 11 palců. Ověříme, že jmenovitá smyková únosnost je větší než požadovaná mezní smyková pevnost, abychom zajistili, že smyková výztuž a vzdálenosti jsou dostatečné. S ohledem na naši novou maximální vzdálenost 11 palců obdržíme hodnotu V_s 49,09 kips.

V_n = φ ⋅ (V_c + V_s ) = 0,75 ⋅ (44,96 + 49,09) > V_u = 61,10 kips

V_n = 70,54 > 61,10 kips

Při závěrečném posouzení se stanoví, zda jsou rozměry průřezu dostatečné na základě čl. 22.5.1.2. [1]. Za tímto účelem se mezní pevnost ve smyku porovná s rovnicí. 22.5.1.2 z ACI 318-14 [1] :

Tato hodnota 105,04 kips je větší než V_u. Současné rozměry průřezů jsou tedy dostatečné.

Výsledky

Alternativou pro posouzení výztuže betonu je využití přídavného modulu RF-/CONCRETE Members a posouzení podle ACI 318-14 [1]. Modul určí nutnou výztuž tak, aby odolala zatížení působícímu na nosník. Dále program stanoví navrženou výztuž na základě rozměrů prutů zadaných uživatelem s uvažováním vzdáleností výztuže požadovaných normou. Uživatel má možnost provést menší úpravy uspořádání výztuže ve výsledkové tabulce.

Na základě zatížení použitá v tomto příkladu stanovil RF-CONCRETE Members požadovanou minimální tahovou výztuž 4,46 in² a navrženou výztuž na (6) #8 prutů (A_s = 4,72 in²). Toto rozložení výztuže je znázorněno na obr. 02.

Tahová a tlaková výztuž v RFEMu

Potřebná smyková výztuž pro prut v modulu RF-CONCRETE Members byla vypočtena na 0,41 in²/ft. Aby byla tato minimální plocha splněna a aby byla zajištěna rovnoměrná vzdálenost třmínků po délce nosníku 20 stop, program doporučil #4 pruty s roztečí 10,91 palce. Uspořádání třmínkové výztuže je znázorněno na obrázku 03.

Smyková výztuž v RFEMu