20820x

001563

Alex Bacon, EIT

13.3.2019

Posouzení betonového nosníku podle ACI 318-14 v programu RFEM

Posouzení betonového nosníku podle ACI 318-14 lze provést pomocí modulu RF-CONCRETE Members. Pro posouzení bezpečnosti je důležité přesně navrhnout tahovou, tlakovou a smykovou výztuž betonového nosníku. V následujícím příspěvku ověříme návrh výztuže v přídavném modulu RF-CONCRETE Members krok za krokem pomocí analytických rovnic podle normy ACI 318-14, včetně pevnosti v ohybu, smyku a nutné výztuže. Příklad posouzení dvojitě vyztuženého železobetonového nosníku zahrnuje smykovou výztuž a bude proveden v mezního stavu únosnosti (MSÚ).

Popis

Dvojitě vyztužený betonový nosník, zobrazený na obrázku 01, bude posouzen v mezním stavu únosnosti podle ACI 318-14 [1] s využitím LRFD výpočtových kombinací zatížení. Na nosník působí neupravené rovnoměrné vlastní zatížení 2,0 kip/ft a užitné zatížení 3,2 kip/ft. Zvolený obdélníkový nosník má celkový průřez 25 in x 11 in. Použitý beton má pevnost v tlaku (f'_c) 5 000 psi, výztužná ocel má mez kluzu (f_y) 60 000 psi. Tlaková výztuž (A'_s) se skládá ze dvou prutů #8 s vzdáleností těžiště (d') 3,0 in od horního tlačeného vlákna s celkovou plochou 1,57 in². Tahová výztuž (A_s) se skládá ze šesti prutů #8, přičemž vzdálenost těžiště (d) činí 20,5 in od horního tlačeného vlákna s celkovou plochou 4,71 in². Smyková výztuž (A_v) obsahuje třmínky #4 o celkové ploše 0,4 in². Rozměry a pracovní diagram pro průřez nosníku jsou znázorněny na obrázku 1.

Pracovní diagram pro železobetonový průřez

Momentová pevnost

Požadovaný jmenovitý moment M_u působený zatížením je 4512,00 kip-in. Odvození rovnice pro nalezení jmenovitého momentu vyžaduje následující předpoklady.

Ocel v tlaku nedosáhne meze kluzu: ε'_s < ε_y → f'_s = E_s ⋅ ε'_s
Ocel v tahu dosáhne meze kluzu: ε_s ≥ ε_y → f_s = f_y

Analýzou pracovního diagramu lze nalézt neutrálnou osu pomocí níže uvedené rovnice. Rovnici odvodíme tak, že tlakové síly dáme rovny tahovým silám, aby bylo dosaženo rovnováhy:
_Ts = C'_s +_Cc →_{As ⋅ f y}_- A'_s ⋅ f'_s - 0,85 ⋅ f'_c ⋅ a ⋅ b = 0

Pomocí podobných trojúhelníků z deformačního diagramu můžeme předpokládat:

ε'_{s} = \frac{ε_{cu} \cdot (c_{NA} - d')}{c_{NA}}

Vzorec 1

Víme také, že: a = β₁ ⋅ C_NA

Substituting β₁ ⋅ C_NA and

ε'_{s} = \frac{ε_{cu} \cdot (c_{NA} - d')}{c_{NA}}

Vzorec 1

for a and ε'_s, respectively, into the equilibrium equation above, the neutral axis can be calculated, as all values are known except C_NA.

A_{s} \cdot f_{y} - \frac{A'_{s} \cdot E_{s} \cdot ε_{cu} \cdot (C_{NA} - d')}{C_{NA}} - 0.85 \cdot f'_{c} \cdot β_{1} \cdot C_{NA} \cdot b = 0

Rovnice 2

Using Table 22.2.2.4.3 from ACI 318 - 14 [1], β₁ is equal to 0.80. CNA pak vychází 5,83 in od horního krajního tlačeného vlákna.

Výše uvedené předpoklady (1 a 2) je třeba ověřit. Pro předpoklad 1 vypočteme deformaci v tlačené oceli (ε'_s) a porovnáme s deformací na mezi kluzu (ε_y). Pokud je ε'_s menší než ε_y , je náš předpoklad správný. Pro předpoklad 2 vypočteme deformaci tahové výztuže (ε_s) a porovnáme ji s ε _y . Pokud je ε_s větší než ε_y , pak je náš předpoklad správný. Pomocí výpočtů (neuvedeno) ověříme předpoklady 1 a 2.

Nakonec pro výpočet jmenovitého momentu (M_n) položíme součet momentů okolo daného místa betonu v tlaku (C_c) roven nule. To můžeme odvodit z grafu na obrázku 1.

Dostaneme rovnici:

M_{n} = C'_{s} \cdot (\frac{a}{2} - d') + T_{s} \cdot (d - \frac{a}{2})

Vzorec 3

Before we can solve for M_n, we must substitute C'_s and T_s for

A'_{s} \cdot E_{s} \cdot ε_{cu} \cdot \frac{(C_{NA} - d')}{C_{NA}}

Vzorec 4

and A_s ⋅ f_y, respectively.

Dostaneme rovnici:

M_{n} = A'_{s} \cdot E_{s} \cdot ε_{cu} \cdot \frac{(C_{NA} - d')}{C_{NA}} \cdot (\frac{a}{2} - d') + A_{s} \cdot f_{y} \cdot (d - \frac{a}{2})

Vzorec 5

Před výpočtem M_n musíme také vypočítat a vynásobením β₁ a C_NA .

a = 4,66 in

Tím, že dosadíme tyto hodnoty do rovnice pro M_n, dostaneme následující:

M_{n} = 1.57 \cdot 29, 000 \cdot \frac{0.003 \cdot (5.83 - 2.5)}{5.83} \cdot (\frac{4.66}{2} - 3.0) + 4.71 \cdot 60 \cdot (20.5 - \frac{4.66}{2})

Vzorec 6

M n nám vyjde 5122,69 kip-in.

Nakonec stanovíme součinitel spolehlivosti (φ) z tabulky 21.2.2 z ACI 318 -14 [1]. Pro stanovení φ porovnáme tahovou deformaci s mezní deformací 0,005. ε_t je rovna 0,00755 a je větší než 0,005. Nosník podléhá tahu. Z tabulky 21.2.2 se φ rovná 0,90. Po vynásobení M_ntímto součinitelem dostaneme φM_nrovno 4610,42 kip-in. Momentová únosnost nosníku je tedy dostačující proti působícímu ohybového momentu.

φM_n > M_u = 4512,00 kip-in o.k.

Smyková únosnost

Pozor: Účinná výška (d) pro posouzení na smyk je 22,5 in oproti 20,5 in v zadání úlohy. Působiště maximální smykové síly je také místem minimálního ohybového momentu (v podpoře). Pro porovnání analytických výpočtů s návrhem výztuže v přídavném modulu RF-CONCRETE Members je nutné si povšimnout, že přídavný modul odvozuje účinnou výšku od požadované tahové výztuže spíš než od navržené tahové výztuže. Proto je při minimálním ohybovém momentu na líci podpory zapotřebí pouze jedna vrstva tahové výztuže s účinnou výškou 60 mm.

Na základě čl. 22.5.1.1 [1], we calculate the nominal shear strength (V_n) of the beam. Pro výpočet jmenovitého smyku použijeme následující rovnici:
V_n = φ ⋅ (V_c + V_s)

Referencing Table 22.5.5.1 [1], concrete shear strength V_c is equal to the minimum of equations a, b, and c calculated in Sections 1, 2, and 3 below.

1. Rovnice a:

V_{c - a} = (1.9 \cdot λ \cdot \sqrt{f'_{c}} 2, 500 \cdot ρ_{w} \cdot \frac{V_{u} \cdot d}{M_{u}}) \cdot b_{w} \cdot d, with λ = 1

Vzorec 7

Mu nastává při Vu, což je vzdálenost d od líce podpory (viz kapitola 9.4.3.2 [1]). M_u se tedy rovná 1533,38 kip-in. V_u = 61,10 kips.

ρ_{w} = \frac{A_{s}}{b_{w} \cdot d} = 0.01992

Vzorec 8

V_c-a = 44,96 kips

2. Rovnice b:

V_{c - b} = (1.9 \cdot λ \cdot \sqrt{f'_{c}} 2, 500 \cdot ρ_{w}) \cdot b_{w} \cdot d

Vzorec 9

V_c-b = 46,26 kips

3. Rovnice c:

V_{c - c} = 3.5 \cdot λ \cdot \sqrt{f'_{c}} \cdot b_{w} \cdot d

Vzorec 10

V_c-c = 61,25 kips

Výběrem minimální hodnoty z výše uvedených rovnic dostaneme V_crovno 44,96 kips.

Po výpočtu jmenovitého smyku betonu je stanovena minimální smyková výztuž pomocí čl. 9.6.3 [1]. Here, if the required shear strength V_u is less than 0.5 ⋅ φ ⋅ V_c, then shear reinforcement is required.

V_u < 0.5 ⋅ φ ⋅ V_c
kde:
φ = 0,75 (tabulka 21.2.1 [1])

Therefore, V_u = 61.10 kips > 16.86 kips. Stirrups are required.

Teoretická vzdálenost je stanovena v čl. 9.5.1.1 [1]:
φ ⋅ V_n > V_u

We substitute (V_c + V_s) for V_n.

V_{s} > \frac{V_{u} - ϕ \cdot V_{c}}{ϕ}

Vzorec 11

S_o, V_s > 36.51 kips.

Podle čl. 22.5.10.5.3 [1] použijeme pro výpočet požadované smykové pevnosti oceli následující rovnici:

V_{s} = \frac{A_{v} \cdot f_{yt} \cdot d}{s}

Vzorec 12

Kde fyt je mez kluzu oceli výztuže v tahu a d je vzdálenost od horního tlačeného vlákna ke středu tahové výztuže.

Maximální vzdálenost je vypočítána na 14,79 in. Pro smykovou výztuž je použita vzdálenost 14 in. Using a spacing of s = 14 inches, the above equation for steel shear strength, V_s, is calculated to be 38.57 kips.

Pomocí tabulky 9.7.6.2.2 [1] se stanoví maximální vzdálenost smykové výztuže. Následující rovnicí stanovíme, která z rovnic v tabulce 9.7.6.2.2 se použije:

4 \cdot \sqrt{f'_{c}} \cdot b_{w} \cdot d = 4 \cdot \sqrt{5, 000 psi} \cdot 11 in \cdot 22.5 in = 70.29 kips

Vzorec 13

The steel shear strength, V_s = 38.57 kips, is less than the calculated value of 70.00 kips. Referencing Table 9.7.6.2.2, the maximum shear spacing can be determined using the minimum value from the following calculations:

s_{\max} = \min (24, \frac{d}{2})

Vzorec 14

Maximální smyková vzdálenost je stanovena na 11,25 in. Smyková vzdálenost stanovená dříve pomocí prutů #4 ve vzdálenosti 14 palců není dostatečná a místo toho je třeba použít 11 palců. Musíme zkontrolovat, zda je jmenovitá smyková únosnost větší než požadovaná mezní smyková pevnost, abychom ověřili, že je smyková výztuž a její vzdálenost vhodná. With respect to our new max spacing of 11 inches, we receive a V_s value of 49.09 kips.

V_n = φ ⋅ (V_c + V_s) = 0.75 ⋅ (44.96 + 49.09) > V_u= 61.10 kips

Vn = 70,54 > 61,10 kips

Při závěrečném posouzení se stanoví, zda jsou rozměry průřezu dostatečné podle čl. 22.5.1.2. [1]. Za tímto účelem se mezní pevnost ve smyku porovná s rovnicí. 22.5.1.2 z ACI 318-14 [1]:

V_{u} ⩽ ϕ \cdot (V_{c} 8 \cdot \sqrt{f'_{c}} \cdot b_{w} \cdot d)

Vzorec 15

Tato hodnota 105,04 kips je větší než V_u. Současné rozměry průřezů jsou tedy dostatečné.

Výsledky

Alternativou pro posouzení výztuže betonu je využití přídavného modulu RF-/CONCRETE Members a posouzení podle ACI 318-14 [1]. Modul určí nutnou výztuž tak, aby odolala zatížení působícímu na nosník. Dále program stanoví navrženou výztuž na základě rozměrů prutů zadaných uživatelem s uvažováním vzdáleností výztuže požadovaných normou. Uživatel má možnost provést menší úpravy uspořádání výztuže ve výsledkové tabulce.

Based on the applied loads for this example, RF-CONCRETE Members has determined a required minimum tension reinforcement of 4.46 in² and a provided reinforcement of (6) #8 bars (A_s = 4.72 in²). This reinforcement layout is shown in Figure 02.

Tahová a tlaková výztuž v RFEMu

Nutná smyková výztuž pro prut v modulu RF-CONCRETE Members byla vypočítána na 0,41 in²/ft. Pro splnění této minimální plochy a zajištění rovnoměrné vzdálenosti třmínků po celé délce nosníku 6 ft program doporučil pruty #4 ve vzdálenosti 10,91 in. Uspořádání třmínkové výztuže je znázorněno na obrázku 03.

Smyková výztuž v RFEMu

Autor

Alex Bacon je zodpovědný za školení zákazníků, technickou podporu a vývoj programů pro severoamerický trh.

Odkazy

Software pro statické výpočty železobetonových staveb

Reference

ACI 318-14, Požadavky na stavební beton a komentář

Stahování

Model v programu RFEM

1,35 MB

;