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Alex Bacon, EIT

13.03.2019

Vérification de poutres en béton armé selon l’ACI 318-14 dans RFEM

RF-CONCRETE Members permet de calculer des poutres en béton selon l'ACI 318-14. Il est important de calculer avec précision la traction, la compression et les armatures d'effort tranchant des poutres béton pour des raisons de sécurité. L’article suivant confirme le calcul des armatures dans RF-CONCRETE Members à l’aide d’équations analytiques détaillées selon la norme ACI 318-14, y compris la résistance au moment, la résistance au cisaillement et les armatures requises. L'exemple de poutre en béton doublement armé analysé ici comprend une armature d'effort tranchant et est calculé à l'ELU.

Description

La section de poutre en béton armé représentée sur la Figure 01 est vérifiée à l’ELU selon ACI 318-14 [1] à l’aide des combinaisons de charge LRFD pondérées. Une charge permanente uniforme non pondérée et une charge d’exploitation de 2,0 kip/pied et 3,2 kip/pied, respectivement, sont appliquées à la poutre. La poutre rectangulaire sélectionnée a une section globale de 25 pouces ⋅ 11 pouces. La résistance en compression du béton (f'_c) est de 5 000 psi et la limite d’élasticité de l’acier de béton armé (f_y) est de 60 000 psi. L’armature de compression (A'_s) se compose de deux barres n°8 avec une distance au centre de gravité (d') de 3,0 pouces de la fibre de compression supérieure avec une aire totale de 1,57 po². L’armature de traction (A_s) se compose de six barres n°8 avec une distance au centre de gravité (d) de 20,5 pouces de la fibre de compression supérieure et une aire totale de 4,71 po². Les armatures d’effort tranchant (A_v) comprennent des étriers n°4 pour une surface totale de 0,4 po². Les dimensions et le diagramme de contrainte/déformation de la section de poutre sont visibles sur la Figure 01.

Section en béton armé : diagramme des contraintes-déformations

Résistance au moment

Le moment nominal requis M_u issu des charges appliquées est de 4 512,00 kip-in. Les hypothèses suivantes sont nécessaires pour dériver l’équation afin de trouver le moment nominal.

L’acier en compression ne fléchit pas : ε'_s < ε_y → f'_s = E_s ⋅ ε'_s
L’acier en traction fléchit : ε_s ≥ ε_y → f_s = f_y

En analysant le diagramme de contrainte et de déformation de la poutre, l’axe neutre peut être trouvé à l’aide de l’équation ci-dessous. L’équation est dérivée en fixant les efforts de compression égales aux efforts de traction afin de satisfaire l’équilibre :
T_s = C'_s + C_c → A_s ⋅ f_y - A'_s ⋅ f'_s - 0.85 ⋅ f'_c ⋅ a ⋅ b = 0

En utilisant le diagramme de déformation et des triangles similaires, nous pouvons supposer :

ε'_{s} = \frac{ε_{cu} \cdot (c_{NA} - d')}{c_{NA}}

Formule 1

Nous savons également que : a = β₁ ⋅ C_NA

Le remplacement de β₁ ⋅ C_NA et

ε'_{s} = \frac{ε_{cu} \cdot (c_{NA} - d')}{c_{NA}}

Formule 1

pour a et ε'_s, respectivement dans l’équation d’équilibre ci-dessus, de sorte que l’axe neutre peut être calculé, car toutes les valeurs sont connues sauf C_NA.

A_{s} \cdot f_{y} - \frac{A'_{s} \cdot E_{s} \cdot ε_{cu} \cdot (C_{NA} - d')}{C_{NA}} - 0.85 \cdot f'_{c} \cdot β_{1} \cdot C_{NA} \cdot b = 0

Formule 2

Selon le Tableau 22.2.2.4.3 de l’ACI 318 - 14 [1], β₁ est égal à 0,80. En calculant CNA, nous trouvons qu’il est égal à environ 5,83 pouces de la fibre comprimée extrême supérieure.

Les hypothèses ci-dessus (1 et 2) doivent être vérifiées. L’hypothèse 1 consiste à calculer la déformation dans l'acier comprimé (ε'_s) et à la comparer à la déformation d’élasticité (ε_y). Si ε'_s est inférieur à ε_y, notre hypothèse est correcte. L’hypothèse 2 nécessite de calculer la déformation de l’armature d’acier en traction (ε_s) et de la comparer à ε_y. Si ε_s est supérieur à ε_y, notre hypothèse est correcte. Nous vérifions par un calcul (non représenté) que les hypothèses 1 et 2 sont valides.

Enfin, pour calculer le moment nominal (M_n), la somme des moments autour de l’emplacement du béton en compression (C_c) est égale à zéro. Le diagramme de la Figure 01 le montre.

L’équation devient alors :

M_{n} = C'_{s} \cdot (\frac{a}{2} - d') + T_{s} \cdot (d - \frac{a}{2})

Formule 3

Avant de pouvoir résoudre M_n, nous devons substituer C'_s et T_s à

A'_{s} \cdot E_{s} \cdot ε_{cu} \cdot \frac{(C_{NA} - d')}{C_{NA}}

Formule 4

et A_s ⋅ f_y, respectivement.

L’équation devient alors :

M_{n} = A'_{s} \cdot E_{s} \cdot ε_{cu} \cdot \frac{(C_{NA} - d')}{C_{NA}} \cdot (\frac{a}{2} - d') + A_{s} \cdot f_{y} \cdot (d - \frac{a}{2})

Formule 5

Nous devons également calculer a en multipliant β₁ et C_NA avant de calculer M_n.

a = 4,66 pouces

En substituant ces valeurs dans l’équation de M_n, nous obtenons ce qui suit :

M_{n} = 1.57 \cdot 29, 000 \cdot \frac{0.003 \cdot (5.83 - 2.5)}{5.83} \cdot (\frac{4.66}{2} - 3.0) + 4.71 \cdot 60 \cdot (20.5 - \frac{4.66}{2})

Formule 6

Mn est calculé à 5122,69 kip-in.

Enfin, le facteur de sécurité (φ) est déterminé en référence au Tableau 21.2.2 de l’ACI 318 -14 [1]. Pour déterminer φ, la déformation en traction est comparée à la déformation ultime de 0,005. ε_t est égal à 0,00755 et supérieur à 0,005. La tension de la poutre est contrôlée. D’après le Tableau 21.2.2, φ est égal à 0,90. En multipliant ce facteur par M_n, φM_n est égal à 4610,42 kip-in. Par conséquent, la capacité de moment de la poutre suffit pour résister au moment fléchissant appliqué.

M_n > M_u = 4512,00 kip-in ok

Résistance au cisaillement

Remarque : La profondeur efficace (d) pour les calculs de cisaillement est de 22,5 pouces, contre 20,5 pouces indiqués dans l’énoncé du problème. L’emplacement de l'effort tranchant maximal est également la position du moment fléchissant minimal (face de l’appui). Pour établir une corrélation entre les calculs analytiques et la vérification des armatures dans RF-CONCRETE Members, le module additionnel base la profondeur efficace sur les armatures de traction requises plutôt que sur les armatures de traction fournies. Par conséquent, avec un moment fléchissant minimal au niveau de la face d'appui, une seule couche d'armatures de traction est requise pour une profondeur efficace de 60 cm.

D’après la clause 22.5.1.1 [1], nous calculons la résistance nominale au cisaillement (V_n) de la poutre. L’équation suivante est utilisée pour calculer le cisaillement nominal :
V_n = φ ⋅ (V_c + V_s)

En référence au tableau 22.5.5.1 de [1], la résistance au cisaillement du béton V_c est égale au minimum des équations a, b et c calculées dans les sections 1, 2 et 3 ci-dessous.

1. Équation a :

V_{c - a} = (1.9 \cdot λ \cdot \sqrt{f'_{c}} 2, 500 \cdot ρ_{w} \cdot \frac{V_{u} \cdot d}{M_{u}}) \cdot b_{w} \cdot d, with λ = 1

Formule 7

Mu apparaît à Vu qui est à une distance d de la face d’appui (Section 9.4.3.2 [1]). Par conséquent, M_u est égal à 1533,38 kip-in. V_u = 61,10 kips.

ρ_{w} = \frac{A_{s}}{b_{w} \cdot d} = 0.01992

Formule 8

V_c-a = 44,96 kips

2. Équation b :

V_{c - b} = (1.9 \cdot λ \cdot \sqrt{f'_{c}} 2, 500 \cdot ρ_{w}) \cdot b_{w} \cdot d

Formule 9

V_c-b = 46,26 kips

3. Équation c :

V_{c - c} = 3.5 \cdot λ \cdot \sqrt{f'_{c}} \cdot b_{w} \cdot d

Formule 10

V_c-c = 61,25 kips

Par conséquent, en sélectionnant la valeur minimale à partir des équations ci-dessus, nous trouvons que V_c est égal à 44,96 kips.

Après le cisaillement nominal du béton, l’armature d'effort tranchant minimale est déterminée à l'aide de la clause 9.6.3 [1]. Ici, si la résistance au cisaillement requise V_u est inférieure à 0,5 ⋅ φ ⋅ V_c, des armatures d'effort tranchant sont requises.

V_u < 0.5 ⋅ φ ⋅ V_c
où
φ = 0,75 (Tableau 21.2.1 [1])

Par conséquent, V_u = 61,10 kips > 16,86 kips. Des cadres sont requis.

L’espacement théorique est déterminé à partir de la clause 9.5.1.1 [1] :
φ ⋅ V_n > V_u

Nous substituons (V_c + V_s) à V_n.

V_{s} > \frac{V_{u} - ϕ \cdot V_{c}}{ϕ}

Formule 11

S_o, V_s > 36,51 kips.

À partir de la clause 22.5.10.5.3 [1], nous utilisons l’équation suivante pour calculer la résistance au cisaillement de l’acier requise :

V_{s} = \frac{A_{v} \cdot f_{yt} \cdot d}{s}

Formule 12

Où fyt est la limite d’élasticité des armatures en acier et d la distance entre la fibre comprimée supérieure et le centre de gravité des armatures en traction.

L’espacement maximal est calculé à 14,79 pouces. Un espacement de 14 pouces pour les armatures d’effort tranchant est utilisé. En utilisant un espacement de s = 14 pouces, l’équation ci-dessus pour la résistance au cisaillement de l’acier, V_s, est calculée comme étant de 38,57 kips.

À l’aide du tableau 9.7.6.2.2 [1], l’espacement maximal de cisaillement doit être déterminé. L’équation suivante est calculée pour déterminer quelle équation du tableau 9.7.6.2.2 est applicable :

4 \cdot \sqrt{f'_{c}} \cdot b_{w} \cdot d = 4 \cdot \sqrt{5, 000 psi} \cdot 11 in \cdot 22.5 in = 70.29 kips

Formule 13

La résistance au cisaillement de l'acier, V_s = 38,57 kips, est inférieure à la valeur calculée de 70,00 kips. En se référant au tableau 9.7.6.2.2, l’espacement maximal du cisaillement peut être déterminé à l’aide de la valeur minimale des calculs suivants :

s_{\max} = \min (24, \frac{d}{2})

Formule 14

L’espacement de cisaillement maximal est déterminé à 11,25 pouces. L’espacement de cisaillement déterminé précédemment avec les barres n°4 espacées de 14 pouces n’est pas suffisant et un espacement de 11 pouces doit être utilisé à la place. Nous vérifions que la résistance nominale au cisaillement est supérieure à la résistance ultime au cisaillement requise pour garantir que les armatures d’effort tranchant et l’espacement sont adéquats. En ce qui concerne notre nouvel espacement maximal de 11 pouces, nous obtenons une valeur V_s de 49,09 kips.

V_n = φ ⋅ (V_c + V_s) = 0,75 ⋅ (44,96 + 49,09) > V_u= 61,10 kips

Vn = 70,54 > 61,10 kips

La vérification finale consiste à déterminer si les dimensions de la section sont suffisantes sur la base de la clause 22.5.1.2. [1]. Pour ce faire, la résistance ultime au cisaillement est comparée à l’Éq. 22.5.1.2 de l’ACI 318-14 [1] :

V_{u} ⩽ ϕ \cdot (V_{c} 8 \cdot \sqrt{f'_{c}} \cdot b_{w} \cdot d)

Formule 15

Cette valeur de 105,04 kips est supérieure à V_u. Les dimensions de section actuelles sont donc suffisantes.

Résultats

Vous pouvez également utiliser le module additionnel RF-/CONCRETE Members et effectuer le calcul des armatures en béton selon l'ACI 318-14 [1]. Le module déterminera les armatures requises pour résister aux charges appliquées sur la poutre. De plus, le logiciel calculera les armatures existantes à partir des tailles de barre spécifiées par l’utilisateur tout en prenant en compte les exigences d’espacement de la norme. L’utilisateur a la possibilité de faire de petits ajustements à la disposition des armatures prévues dans le tableau de résultats.

Sur la base des charges appliquées pour cet exemple, RF-CONCRETE Members a déterminé des armatures en traction minimales requises de 4,46 po² et des armatures prévues de (6) barres n°8 (A_s = 4,72 po²). La Figure 02 illustre la disposition des armatures.

Diagramme RFEM de traction et de compression d'armatures

L’armature d’effort tranchant requise pour la barre dans RF-CONCRETE Members a été calculée à 0,41 po²/pi. Pour observer cette aire minimale et fournir un espacement uniforme des cadres sur toute la longueur de la poutre de 6 m, le logiciel a recommandé des barres n° 4 avec un espacement de 10,91 pouces. La disposition des armatures d’effort tranchant est affichée dans la Figure 03.

Diagramme RFEM d'armature de cadre

Auteur

Alex est responsable des formations clients, du support technique et du développement des logiciels Dlubal pour le marché nord-américain.

Liens

Logiciels de calcul de structures en béton

Références

ACI 318-14, Exigences du code de bâtiment pour le béton structural et les commentaires

Téléchargements

Fichier du modèle RFEM

1,35 MB

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