非线性求解器

在非线性计算中, 通常会得出一个由非线性代数方程组组成的问题。 非线性求解器的稳健性是有限元分析的重要考虑因素。 非线性方法将非线性问题转换为一系列线性问题，然后使用线性求解器对这些线性问题进行求解。 有六种方法可以求解非线性方程组。

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)

对于右侧连续，建议使用 Newton-Raphson 非线性方法。 在这种方法中，切向刚度矩阵根据当前变形状态进行计算，并在每个迭代周期中反转。 在大多数情况下，该方法的特点是快速（二次）收敛。

Newton-Raphson 可视化

Picard

对于不连续的情况，可以使用 Picard 方法作为更鲁棒的选择。 该方法也称为不动点迭代法或割线法。 它可以被认为是 Newton 法的有限差分逼近。 考虑当前迭代周期与当前荷载步的初始迭代周期之间的差异。 该方法一般不像牛顿'法那样快速收敛，但对于一些非线性问题可以更鲁棒。

Picard 可视化图

Newton-Raphson 与 Picard 结合

这种组合方法的想法是把两种方法的优点结合起来。 对于初始近似，使用 Picard 方法来避免初始不稳定性。 然后使用快速 Newton-Raphson 法。 同时可以得到可靠的和相对快速的逼近。

在设置中可以定义每种方法的比例。

等刚度矩阵 Newton-Raphson

该方法可以用于大变形分析计算。 刚度矩阵只在第一次迭代时创建，然后用于所有后续计算（因此是恒定的）。 因此，计算速度更快，但不如根据正常或修正的 Newton-Raphson 法计算稳定。

对于较小的自由度，Newton-Raphson 法往往更有效。 当函数中斜率变化很小时，等刚度法通常更有利。 如果坡度变化很大，通常使用 Newton-Raphson 法。

修正的 Newton-Raphson

该方法用于进行超临界分析，其中必须克服一个不稳定性。 如果出现不稳定性，并且刚度矩阵不可逆，程序将使用上一个稳定迭代步骤中的刚度矩阵。 程序使用该矩阵继续计算，直到再次达到稳定范围。

与（常规）Newton-Raphson 相比，修正的 Newton-Raphson 收敛速度较慢（线性），迭代次数更多，但计算成本较低，并且对 Newton-Raphson 可能失效的极端非线性（如脆性开裂）鲁棒性更强。

Modified-Newton-Raphson 可视化

动力松弛

该方法适用于大变形分析和超临界分析问题。 动力松弛法是一种由已知的不平衡形态逐步迭代到平衡形态的数值计算方法。 考虑到惯性和阻尼，该问题可以视为动力学问题。 当体系的动能达到最大值时，表明体系接近平衡位置， 将此时的动能和速度分量设置为零，从而消耗体系的能量，起到阻尼的作用。之后从当前的几何形状重新开始振动分析，经历更多的极值后，结构的总动能逐步趋近于零，体系达到静力平衡状态。 该方法包含了 Rayleigh 阻尼，可以根据以下时间导数的公式通过常数 α 和 β 来定义。