Solucionadores não lineares

Os cálculos não lineares em geral produzem um sistema de equações algébricas não lineares que necessitam de ser resolvidas. A robustez do solucionador não linear é uma parte crucial do processo de cálculo no âmbito da análise de elementos finitos. O método não linear transforma o problema não linear numa sequência de problemas lineares que são depois resolvidos por um solucionador linear. Seis métodos para resolver o sistema de equações algébrico não linear encontram-se disponíveis.

Newton-Raphson

O método não linear Newton-Raphson é preferível no caso de um lado direito contínuo. Neste método, a matriz de rigidez tangencial é calculada como função do atual estado de deformação e invertido a cada ciclo de iteração. Na maioria dos casos, o método apresenta uma convergência rápida (quadrática).

Visualização de Newton-Raphson

Picard

No caso de descontinuidades, o método de Picard pode ser utilizado como uma escolha mais sólida. Este método também é conhecido como método de iteração de ponto fixo ou método da secante. Pode ser entendido como uma aproximação das diferenças finitas do método de Newton. É considerada a diferença entre o ciclo de iteração atual e o ciclo de iteração inicial no atual passo de carga. O método não converge tão rapidamente como o método de Newton' em geral, mas pode ser mais sólido para alguns problemas não lineares.

Visualização de Picard

Newton-Raphson combinado com Picard

A ideia deste método de combinação é juntar as vantagens dos dois métodos. Para a aproximação inicial é utilizado o método de Picard para evitar instabilidades iniciais. Em seguida, é utilizado o método rápido de Newton-Raphson. Em conjunto, é possível atingir uma aproximação sólida e relativamente rápida.

Nas configurações, as proporções dos respetivos métodos podem ser definidas.

Newton-Raphson com matriz de rigidez constante

Esta versão do método Newton-Raphson pode ser seleccionada para cálculo de acordo com a análise das grandes deformações. A matriz de rigidez é criada apenas uma vez no primeiro passo da iteração, e depois é utilizada em todos os subsequentes passos do cálculo (por isso, constante). Assim, o cálculo é executado de forma mais rápida mas não tão estável como os cálculos de acordo com o método normal ou alterado de Newton-Raphson.

Para graus de liberdade mais baixos, o método Newton-Raphson tende a ser mais eficiente. Para pequenas variações da inclinação na função, o método da rigidez constante geralmente tem a vantagem. Se o declive tiver alterações drásticas, no entanto, Newton-Raphson é geralmente recomendado.

Newton-Raphson Alterado

Este método é utilizado para realizar a análise pós crítica onde um intervalo com instabilidade deve ser ultrapassado. Se está disponível uma instabilidade e a matriz de rigidez não pode ser invertida, o programa utiliza a matriz de rigidez do último passo de iteração estável. O programa continua a calcular com esta matriz até que o intervalo de estabilidade é atingido.

Comparado com o Newton-Raphson (regular), o Newton-Raphson Modificado tende a convergir mais lento (linear) com mais iterações, mas computacionalmente, é mais sólido e é mais sólido para não linearidades extremas (como fendilhação frágeis) onde o Newton-Raphson pode falhar.

Visualização de Newton-Raphson modificado

Descontração dinâmica

O método final é apropriado para cálculos de acordo com a análise das grandes deformações e para resolver problemas em relação à análise pós crítica. Nesta abordagem, é introduzido um parâmetro de tempo artificial. Tendo em consideração a inercia e o amortecimento, a ruptura pode ser gerida como um problema dinâmico. Esta abordagem utiliza o método da tempo-integração explicito; a matriz de rigidez não será invertida. Não é permitido que nenhuma parte do modelo tenha um peso específico de zero, quando calcula com o relaxamento dinâmico. Este método inclui o amortecimento de Rayleigh que pode ser definido através das constantes α e β de acordo com a equação seguinte com as derivações no tempo: