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31. August 2023

VE0048 | Einfache Biegung mit Druck

Beschreibung

Eine Struktur aus I-Profil ist am linken Ende vollständig fixiert und am rechten Ende in die Gleitlagerung eingebettet. Die Struktur besteht gemäß sketch aus zwei Segmenten. Das Eigengewicht wird in diesem Beispiel nicht berücksichtigt. Es soll die maximale Durchbiegung des Tragwerks u_z,max, das Biegemoment M_y am festen Ende, die Verdrehung φ_2,y des Segments 2 und die Reaktionskraft R_Bz mittels Theorie I. Ordnung und II. Ordnung bestimmt werden Ordnung relevant. Dieses Verifikationsbeispiel basiert auf dem von Gensichen und Lumpe vorgestellten Beispiel (siehe Literatur).

Material	Stahl	Elastizitätsmodul	E	210000,000	MPa
Material	Stahl	Querdehnzahl	ν	0,300
Geometrie	Struktur	Segmentlänge 1	L₁	6,000	m
	Struktur	Segmentlänge 2	L₂	1.200	m
	Querschnitt	Höhe	h	400,000	mm
		Breite	F	180,000	mm
		Stegdicke	S	10,000	mm
		Flanschdicke	t	14,000	mm
Last		Normalkraft	F_x	100,000	kN
Last		Querkraft	F_z	0,500	kN

01 Einfache Biegung mit Druck

Analytische Lösung

Theorie I. Ordnung (geometrisch lineare Berechnung)

Die Berechnung wird zunächst geometrisch linear durchgeführt. In diesem Fall wird die Normalkraft F_x nicht berücksichtigt. Das Problem lässt sich dann ebenso lösen, wie ein nur durch die Querkraft F_z belasteter Kragarm der Länge L₁. Die maximale Durchbiegung u_z,max lässt sich mit dem Integral von Mohr' berechnen und ergibt sich zu:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Quadratisches Moment des Querschnitts bezogen auf die y-Achse

Maximale Durchbiegung – Theorie I. Ordnung

Das Biegemoment am festen Ende kann gemäß folgender Formel berechnet werden:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Maximales Biegemoment - Berechnung geometrisch linear

Die Verdrehung des Segmentes 2 φ_2,y berechnet sich aus der geometrischen Bedingung wie folgt:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Drehung von Segment 2 – Analyse geometrisch linear

Die Reaktionskraft in der Schubfuge R_Bz mit Berücksichtigung der Nullwirkung der Normalkraft F_x kann dem in der folgenden sketch dargestellten Freikörperbild entnommen werden.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Reaktionskraft in Schubfuge - Berechnung geometrisch linear

02 Freier Aufbau der Struktur

Theorie II. Ordnung

Wegen des nicht vernachlässigbaren Einflusses der Normalkraft F_x sollte die Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden. Damit wird die Normalkraft F_x berücksichtigt und liefert einen weiteren Beitrag zum Biegemoment. Das Problem lässt sich durch Freikörperdiagramm der Segmente gemäß sketch beschreiben. Die unbekannten Reaktionskräfte können den Gleichgewichtsgleichungen entnommen und dann die Biegemomentformel geschrieben werden.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Biegemoment im Segment 1 – Theorie II. Ordnung

Die Lösung kann durch die Euler-Bernoulli-Differenzialgleichung gefunden werden.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Euler-Bernoulli-Differenzialgleichung

Unter Berücksichtigung der Randbedingungen kann die Lösung der Differentialgleichung gefunden und die maximale Durchbiegung des Systems berechnet werden.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Durchbiegungsfunktion für Segment 1 – Theorie II. Ordnung

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Maximale Durchbiegung des Tragwerks – Theorie II. Ordnung

Das Biegemoment am festen Ende kann gemäß folgender Formel berechnet werden:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Maximales Biegemoment – Theorie II. Ordnung

Die Verdrehung des Segmentes 2 φ_2,y berechnet sich aus der geometrischen Bedingung wie folgt:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Drehung des Segments 2 - Theorie II. Ordnung

Die Reaktionskraft in der Gleitfuge R_Bz ergibt sich:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Reaktionskraft in der Schubfuge – Theorie II. Ordnung

Hier ist ersichtlich, dass der Einfluss der Normalkraft F_x erheblich ist. Die Gesamtdurchbiegung des Tragwerks unter der vorgeschriebenen Belastung ist bei Theorie II. Ordnung um ca. 18 % größer als bei Theorie I. Ordnung. Der Vergleich der Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung wird im graph anhand des Verhältnisses der Belastungskräfte F_z = F_x/200 dargestellt. Es ist ersichtlich, dass der Unterschied zwischen diesen Nachweisen bei größeren Belastungen deutlicher wird. Die Lösung nach Theorie II. Ordnung nähert sich der horizontalen Asymptote an. Aus der numerischen Lösung ergibt sich der Wert der horizontalen Asymptote F_x,cr = 650,873 kN.

03 Vergleich von Theorie I. Ordnung (gestrichelte Linie) und Theorie II. Ordnung (durchgezogene Linie)

RFEM- und RSTAB-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.05/RSTAB 8.05, RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Die Anzahl der Elemente beträgt 2 (ein Element pro Stab)
Die Anzahl der Inkremente beträgt 5.
Es wird ein isotropes linear-elastisches Materialmodell vorausgesetzt.
Die Modellierung erfolgt über Stäbe
Die Schubsteifigkeit der Stäbe wird vernachlässigt.

Ergebnisse

Theorie I. Ordnung	Analytische Lösung	RFEM 6	Ausnutzung	RSTAB 9	Ausnutzung
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
My(0)[_kNm ]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ2_,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
r_Bz [kN]	0,000	0,000
0,000

Theorie I. Ordnung	Analytische Lösung	RFEM 5	Ausnutzung	RSTAB 8	Ausnutzung
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
My(0)[_kNm ]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ2_,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
r_Bz [kN]	0,000	0,000
0,000

Theorie II. Ordnung	Analytische Lösung	RFEM 6	Ausnutzung	RSTAB 9	Ausnutzung
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
My(0)[_kNm ]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ2_,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
r_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Theorie II. Ordnung	Analytische Lösung	RFEM 5	Ausnutzung	RSTAB 8	Ausnutzung
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
My(0)[_kNm ]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ2_,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
r_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

499x

14x

Verifikationsbeispiel 000048 | 1

Referenzen

LUMPE, G. and GENSICHEN, V. Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorieund Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Ernst, 2014.

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