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2023-08-31

VE0048 | 单轴受压受弯

描述

一个工字形结构，左端完全固定，右端嵌入滑动支座中。该结构由两部分组成，该结构的名称分别按照下面的 sketch。示例中忽略自重。结构的最大挠度 u_z,max ，固定端上的弯矩 M_y ，节段 2 的转角 φ_2,y以及反力 R_Bz通过几何线性分析和二阶分析得出分析。验算示例是基于 Gensichen 和 Lumpe 提出的示例（参见参考资料）。

材料	钢	弹性模量	E	210000,000	MPa
材料	钢	横向应变	ν	0,300	<现在wiki>-
几何尺寸	结构	区段长度 1	L₁	6,000	m
	结构	分段长度2	L₂	1,200	m
	截面	高度	[SCHOOL.]	400,000	mm
		宽度	B	180,000	mm
		腹板厚度	S	10,000	mm
		翼缘厚度	t	14,000	mm
荷载		轴力	F_x	100,000	kN
荷载		横向力	F_z	0,500	kN

01 单轴受压受弯

解析解

一阶分析(几何线性)

首先进行几何线性分析。在这种情况下不考虑轴向力 F_x 。该问题可以被解决，长度为 L₁的悬臂梁只承受横向力 F_z 。最大挠度 u_z,max可以使用摩尔积分计算，结果表达式为：

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

[F12]<sub>y</sub>

截面关于 y 轴的二次弯矩

最大挠度 - 几何线性分析

固定端弯矩计算公式如下：

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

最大弯矩 - 几何线性分析

杆件 2 的转角 φ_2,y根据几何条件计算如下：

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

杆件 2 的转动 – 几何线性分析

考虑轴向力 F_x为零的影响时，滑动连接中的反力 R_Bz可以从下面的自由体图 sketch 。

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

滑动连接中的反力 - 几何线性分析

02 自由结构设计

二阶分析

由于轴向力 F_x的作用不可忽略，所以在二阶分析中加以考虑。轴力_Fx也被考虑在内，会产生另一个弯矩值。该问题可以根据通过区段的自由体曲线图进行描述。由平衡方程式得出未知的反力，然后得出弯矩公式。

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

杆件 1 弯矩 – 二阶分析

求解可以采用Euler-Bernoulli微分方程。

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Euler-Bernoulli 微分方程

在考虑边界条件的情况下，可以找到微分方程的解，并计算结构的最大挠度。

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

杆件 1 的挠度函数 – 二阶分析

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

结构的最大挠度 – 二阶分析

固定端弯矩计算公式如下：

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

最大弯矩 - 二阶分析

杆件 2 的转角 φ_2,y根据几何条件计算如下：

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

杆件 2 转动 – 二阶分析

得出滑动连接中的反力 R_Bz ：

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

滑动连接中的反力 – 二阶分析

可见轴力F_x的影响非常显着。在二阶分析的情况下，在给定荷载下的结构的总挠度比几何线性分析的情况大约大 18 %。在考虑荷载作用力的比值 F_z = F_x/200 的情况下，对一阶分析和二阶分析进行比较。很明显，当荷载越大，这些分析之间的差异越显着。二阶分析解逼近水平渐近线。数值解给出水平渐近线 F_x,cr = 650.873 kN。

03 一阶分析(虚线)与二阶分析(实线)的比较

RFEM 和 RSTAB 设置

在 RFEM 5.05 和 RSTAB 8.05 以及 RFEM 6.01、RSTAB 9.01 中建模
单元数量为2（每杆一个单元）
增量数目为 5
使用各向同性线弹性材料模型
该结构是使用杆件建模的
忽略杆件的抗剪刚度

结果输出

解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	<现在wiki>-	0,000	<现在wiki>-

解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
u_z,max [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [kNm]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
R_Bz [kN]	0,000	0,000	<现在wiki>-	0,000	<现在wiki>-

解析解	RFEM 6	比值	RSTAB 9	比值
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1,000	-0.073	1,000

解析解	RFEM 5	比值	RSTAB 8	比值
u_z,max [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [kNm]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
R_Bz [kN]	-0.073	-0.073	1,000	-0.073	1,000

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验证示例000048 | 1

参考

LUMPE, G. 和 GENSITEN, V. 线性和非线性杆件分析评估理论和软件：示例、失效原因、详细理论。欧内斯特。

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