224x

2023-08-31

VE0048 | Одноосный изгиб с давлением

Описание работы

Конструкция из двутаврового профиля полностью закреплена на левом конце и встроена в подвижную опору на правом конце. Конструкция состоит из двух сегментов согласно следующему {%/#sketch эскизу]]. В данном примере не учитывается собственный вес. С помощью геометрически линейного расчета и расчета по методу второго порядка определим максимальный прогиб конструкции u_z,max, изгибающий момент M_y на закрепленном конце, поворот φ_2,y сегмента 2 и опорную силу R_Bz порядка. Контрольный пример основан на примере, представленном Gensichen и Lumpe (см. ссылку).

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000,000	МПа
поперечная деформация	ν	0,300	-
Геометрия	Конструкция	Длина сегмента 1	L₁	6,000	м
Длина сегмента 2	L₂	1,200	м
использование	Высота	h	400,000	мм
Ширина	b	180,000	мм
Толщина стенки	s	10,000	мм
толщина полки	t	14,000	мм
Нагрузки		нормальная сила	F_x	100,000	кН
Нагрузки		Поперечная сила	F_z	0,500	кН

01 Одноосный изгиб с давлением

Аналитическое решение

Геометрически линейный расчет

Сначала выполняется геометрически линейный расчёт. В данном случае не учитывается нормальная сила F_x. В этом случае мы можем решить задачу и создать консоль длиной L₁, нагруженную только поперечной силой F_z. Максимальный прогиб u_z,max можно рассчитать с помощью интеграла Мора' и приводит к выражению:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

f<sub>y</sub>

Квадратичный момент сечения по отношению к оси y

Максимальный прогиб - геометрически линейный расчет

Изгибающий момент на защемленном конце мы можем рассчитать по следующей формуле:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Максимальный изгибающий момент - геометрически линейный расчет

Поворот сегмента 2 φ_2,y рассчитывается из геометрического условия следующим образом:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Поворот сегмента 2 - геометрически линейный расчет

Силу реакции в подвижном соединении R_Bz с учетом нулевого действия осевой силы F_x можно получить из диаграммы свободного тела, показанной на следующем {%ref#эскиз-расчёте]].

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Опорная реакция в подвижном соединении - геометрически линейный расчет

02 Произвольный расчет конструкции

Анализ второго порядка

Из-за незначительного влияния нормальной силы F_х следует применить расчет по теории второго порядка. Таким образом, учитывается также осевая сила F_x, которая вносит дополнительный вклад в изгибающий момент. Данную проблему можно легко описать с помощью диаграммы свободного тела сегментов по {%://#эскизам свободного тела]]. Неизвестные силы реакции могут быть получены из уравнений равновесия, и затем может быть записана формула изгибающего момента.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Изгибающий момент в сегменте 1 - расчет по методу второго порядка

Решение можно найти с помощью дифференциального уравнения Эйлера-Бернулли.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Дифференциальное уравнение Эйлера-Бернулли

С учетом граничных условий затем можно найти решение дифференциального уравнения и рассчитать максимальный прогиб конструкции.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Функция прогиба для сегмента 1 - расчет по методу второго порядка

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Максимальный прогиб конструкции - расчет по методу второго порядка

Изгибающий момент на защемленном конце мы можем рассчитать по следующей формуле:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Максимальный изгибающий момент - расчет по методу второго порядка

Поворот сегмента 2 φ_2,y рассчитывается из геометрического условия следующим образом:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Поворот сегмента 2 - расчет по теории второго порядка

Опорная реакция в подвижном соединении R_Bz получается:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Сила реакции в подвижном соединении - расчет по методу второго порядка

Очевидно, что влияние нормальной силы F_x значительно. Общий прогиб конструкции при заданной нагрузке в случае расчета по методу второго порядка примерно на 18 % больше, чем в случае геометрически линейного расчета. Сравнение геометрически линейного расчета и расчета по методу второго порядка показано на {%ref#диаграмме]] с учетом соотношения нагружений F_z = F_x/200 . Очевидно, что разница между этими расчетами более значительна, чем выше нагрузка. Расчетное решение второго порядка приближается к горизонтальной асимптоте. Численное решение дает значение горизонтальной асимптотики F_x,cr = 650,873 кН.

03 Сравнение геометрически линейного расчета (штриховая линия) и расчета по методу второго порядка (сплошная линия)

Настройки программы RFEM и RSTAB

Смоделировано в программе RFEM 5.05 и RSTAB 8.05 и RFEM 6.01, RSTAB 9.01
Количество элементов - 2 (по одному элементу на стержень)
Количество приращений - 5
Используется изотропная линейная упругая модель материала
Конструкция моделируется с помощью стержней
Жесткостью на сдвиг стержней не учитывается

Результаты

Геометрически линейный расчёт	Аналитическое решение	Rfem 6	сечения	RSTAB 9	сечения
u_z,max [мм]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [кНм]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [мрад]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [кН]	0,000	0,000	-	0,000	-

Геометрически линейный расчёт	Аналитическое решение	RFEM 5	сечения	RSTAB 8	сечения
u_z,max [мм]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
M_y (0) [кНм]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [мрад]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [кН]	0,000	0,000	-	0,000	-

Анализ второго порядка	Аналитическое решение	Rfem 6	сечения	RSTAB 9	сечения
u_z,max [мм]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [кНм]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [мрад]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [кН]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Анализ второго порядка	Аналитическое решение	RFEM 5	сечения	RSTAB 8	сечения
u_z,max [мм]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
M_y (0) [кНм]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [мрад]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [кН]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

499x

14x

Контрольный пример 000048 | 1

Ссылки

LUMPE, G.: и GENSITEN, V. Теория и программное обеспечение для оценки линейного и нелинейного расчета стержней: Контрольные примеры, причины выхода из работы, подробная теория. Ernest,

;