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2023-08-31

VE0048 | Flexão uniaxial com compressão

Descrição

A estrutura de secção em I encontra-se completamente fixada na extremidade esquerda e incorporada no apoio deslizante na extremidade direita. A estrutura é constituída por dois segmentos de acordo com o seguinte {%/#sketch Sketch]]. O peso próprio não é considerado neste exemplo. Determinar a flecha máxima da estrutura u_z,máx, o momento fletor My na extremidade fixa, a rotação φ_2,y_do segmento 2 e a força de reação R_Bz através da análise geométrica linear e da teoria de segunda de grandes deformações. O exemplo de verificação é baseado no exemplo introduzido por Gensichen e Lumpe (ver referência).

Material	Aço de armadura	Módulo de elasticidade	E	210000,000	MPa
Material	Aço de armadura	deformação transversal	ν	0,300	-
Geometria	Estrutura	Comprimento do segmento 1	L₁	6,000	m
	Estrutura	Comprimento do segmento 2	L₂	1,200	m
	Secção	Altura	[SCHOOL.]	400,000	mm
		Largura	B	180,000	mm
		Espessura de alma	S	10,000	mm
		Espessura de banzo	t	14,000	mm
Carga,		força axial	F_x	100,000	kN
Carga,		força transversal	f_Z	0,500	kN

01 Flexão uniaxial com compressão

Solução analítica

análise de primeira ordem

No inicio é realizada uma análise geometricamente linear. Neste caso, a força axial_Fx não é tida em consideração. O problema também pode ser resolvido como uma consola do comprimento L₁ carregada apenas pela força transversal F_z. A flecha máxima u_z,max pode ser calculada através da integral de Mohr' e resulta na expressão:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>Y</sub>

Momento quadrático da secção em relação ao eixo y

Flecha máxima – Análise geometricamente linear

O momento fletor na extremidade fixa pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Momento fletor máximo – análise geometricamente linear

A rotação do segmento 2 φ_2,y é calculada a partir da condição geométrica da seguinte forma:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Rotação do segmento 2 – Análise geometricamente linear

A força de reação na ligação deslizante R_Bz considerando o efeito nulo da força axial F_x pode ser obtida a partir do diagrama de corpo livre apresentado na seguinte {%/##estruturade corpos livres]].

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Força de reação na ligação de deslizamento – análise geometricamente linear

02 Dimensionamento de estrutura gratuito

Análise de segunda ordem

Por causa do efeito não desprezável da força axial F_x, a análise de segunda ordem deve ser considerada. Assim, a força axial_Fx é tida em consideração e produz outra contribuição para o momento fletor. O problema pode ser descrito pelo diagrama de corpo livre dos segmentos de acordo com o {%/#freebody Sketch]]. As forças de reação desconhecidas podem ser obtidas a partir das equações de equilíbrio e, em seguida, a fórmula do momento fletor pode ser escrita.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Momento fletor no segmento 1 – análise de segunda ordem

A solução pode ser encontrada pela equação diferencial de Euler-Bernoulli.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

equação diferencial de Euler-Bernoulli

Tendo em consideração as condições de fronteira, é possível encontrar a solução na equação diferencial e calcular a flecha máxima da estrutura.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Função de flecha para o segmento 1 – análise de segunda ordem

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Flecha máxima da estrutura – Análise de segunda ordem

O momento fletor na extremidade fixa pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Momento fletor máximo – análise de segunda ordem

A rotação do segmento 2 φ_2,y é calculada a partir da condição geométrica da seguinte forma:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Rotação do segmento 2 – análise de segunda ordem

A força de reação na ligação deslizante R_Bz resulta:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Força de reação na ligação de deslizamento – análise de segunda ordem

É óbvio que a influência da força axial_Fx é considerável. A flecha total da estrutura sob o carregamento predefinido no caso da análise de segunda ordem é aproximadamente 18 % maior do que no caso da análise geométrica linear. A comparação da análise geométrica linear com a análise de segunda ordem é apresentada no {%>z = F_x/200. É óbvio que a diferença entre as análises é mais considerável quando o carregamento é maior. A solução da análise de segunda ordem aproxima-se da assíntota horizontal. A solução numérica dá o valor da assíntota horizontal F_x,cr = 650,873 kN.

03 Comparação entre a análise geometricamente linear (linha tracejada) e a análise de segunda ordem (linha cheia)

Configuração do RFEM e do RSTAB

Modelado no RFEM 5.05 e RSTAB 8.05 e RFEM 6.01, RSTAB 9.01
O número de elementos é 2 (um elemento por barra)
O número de incrementos é 5
É utilizado um modelo de material isotrópico linear elástico
A estrutura foi modelada com barras
A rigidez ao corte das barras é desprezada

Resultados

Análise geometricamente linear	Solução analítica	RFEM 6	Relação	RSTAB 9	Relação
u_z,máx [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
My (0) [_kNm ]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Análise geometricamente linear	Solução analítica	RFEM 5	Relação	RSTAB 8	Relação
u_z,máx [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
My (0) [_kNm ]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ_2,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]_Bz [kN]	0,000	0,000	-	0,000	-

Análise de segunda ordem	Solução analítica	RFEM 6	Relação	RSTAB 9	Relação
u_z,máx [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
My (0) [_kNm ]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Análise de segunda ordem	Solução analítica	RFEM 5	Relação	RSTAB 8	Relação
u_z,máx [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
My (0) [_kNm ]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ_2,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.REQUESTORCALLBACK]_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

504x

17x

Exemplo de verificação 000048 | 1

Referências

LUMPE, G. e GENSITEN, V. Avaliação de teoria e software de análises de barras lineares e não lineares: Exemplos de teste, causas de rotura, teoria detalhada. Anestési.

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