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2023-08-31

VE0048 | Flexión uniaxial con presión

Descripción del trabajo

Una estructura hecha de perfil en I está completamente fijada en el extremo izquierdo e incrustada en el apoyo deslizante en el extremo derecho. La estructura consta de dos segmentos según el siguiente sketch. El peso propio se omite en este ejemplo. Determine la flecha máxima de la estructura u_z_,max, el momento flector My en el extremo fijo, el giro φ_2,y del segmento 2 y la fuerza de reacción R_Bz por medio del análisis geométricamente lineal y el análisis de segundo orden análisis. El ejemplo de verificación se basa en el ejemplo presentado por Gensichen y Lumpe (ver la referencia).

Material	Acero	Módulo de elasticidad	E	210000,000	MPa
Material	Acero	coeficiente de Poisson	ν	0,300
Geometría	Estructura	Longitud del segmento 1	L₁	6,000	m
	Estructura	Longitud del segmento 2	L₂	1,200	m
	Sección	Altura	H	400,000	mm
		Ancho	b	180,000	mm
		Espesor de alma	s	10,000	mm
		espesor del ala	t	14,000	mm
Carga		esfuerzo axil	F_x	100,000	kN
Carga		Fuerza transversal	F_z	0,500	kN

01 Flexión uniaxial con presión

Solución analítica

Análisis geométricamente lineal

Primero se realiza el análisis geométricamente lineal. En este caso, no se tiene en cuenta el esfuerzo axil_Fx. El problema se puede resolver así como un voladizo de longitud L₁ cargado solo por la fuerza transversal F_z. La flecha máxima uz_,max se puede calcular utilizando la integral de Mohr' y da como resultado la expresión:

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{1}^{3}}{3 {EI}_{y}} = 0.743 mm

F<sub>y</sub>

Momento cuadrático de la sección con respecto al eje y

Flecha máxima - Análisis geométricamente lineal

El momento flector en el extremo fijo se puede calcular según la siguiente fórmula:

M_{y} (0) = F_{z} L_{1} = 3.000 kNm

Momento flector máximo - Análisis geométricamente lineal

El giro del segmento 2 φ_2,y se calcula a partir de la condición geométrica de la siguiente manera:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.619 mrad

Giro del segmento 2 - Análisis geométricamente lineal

La fuerza de reacción en la junta deslizante R_Bz considerando el efecto nulo de la fuerza axil F_x se puede obtener del diagrama de cuerpo libre que se muestra en el siguiente sketch.

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = 0.000

Fuerza de reacción en la junta deslizante - Análisis geométricamente lineal

02 Diseño de estructura libre

Análisis de segundo orden

Debido al efecto no despreciable del esfuerzo axil F_x, se debe considerar el análisis de segundo orden. Por lo tanto, se tiene en cuenta el esfuerzo axil F_x y se produce otra contribución al momento flector. El problema se puede describir mediante el diagrama de cuerpo libre de los segmentos según el sketch. Las fuerzas de reacción desconocidas se pueden obtener de las ecuaciones de equilibrio y luego se puede escribir la fórmula del momento flector.

M_{y} = - R_{A z} (L_{1} - x) - R_{A x} (u_{z, \max} - u_{z} (x))

Momento flector en el segmento 1 - Análisis de segundo orden

La solución se puede encontrar mediante la ecuación diferencial de Euler-Bernoulli.

\frac{d^{2} u_{z}}{{dx}^{2}} = - \frac{M_{y}}{{EI}_{y}}

Ecuación diferencial de Euler-Bernoulli

Considerando las condiciones de contorno, se puede encontrar la solución en la ecuación diferencial y calcular la flecha máxima de la estructura.

u_{z} (x) = \frac{F_{z} L_{2} [- \cos ({αL}_{1}) αx + \cos ({αL}_{1}) \sin (αx) - \sin ({αL}_{1}) \cos (αx) + \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) + {αL}_{2} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}

Función de flecha para el segmento 1 - Análisis de segundo orden

u_{z, \max} = \frac{F_{z} L_{2} [{αL}_{1} \cos ({αL}_{1}) - \sin ({αL}_{1})]}{F_{x} [αcos ({αL}_{1}) (L_{1} + L_{2}) - \sin ({αL}_{1})]} = 0.878 mm

Flecha máxima de la estructura - Análisis de segundo orden

El momento flector en el extremo fijo se puede calcular según la siguiente fórmula:

M_{y} (0) = R_{A z} L_{1} + R_{A x} u_{z, \max} = 3.527 kNm

Momento flector máximo - Análisis de segundo orden

El giro del segmento 2 φ_2,y se calcula a partir de la condición geométrica de la siguiente manera:

φ_{2, y} = \arctan (\frac{u_{z, \max}}{L_{2}}) = 0.732 mrad

Giro del segmento 2 - Análisis de segundo orden

La fuerza de reacción en la junta deslizante R_Bz da como resultado:

R_{B z} = - \frac{F_{x} u_{z, \max}}{L_{2}} = - 0.073 kN

Fuerza de reacción en la unión deslizante - Análisis de segundo orden

Es obvio que la influencia del esfuerzo axil F_x es considerable. La flecha total de la estructura bajo la carga prescrita en el caso del análisis de segundo orden es aproximadamente un 18 % mayor que en el caso del análisis geométricamente lineal. La comparación del análisis geométricamente lineal y el análisis de segundo orden se muestra en el #graph, considerando la relación de las fuerzas de carga F_z = F_x/200. Es obvio que la diferencia entre estos análisis es más considerable cuando la carga es mayor. La solución del análisis de segundo orden se aproxima a la asíntota horizontal. La solución numérica da el valor de la asíntota horizontal F_x,cr = 650,873 kN.

03 Comparación del análisis geométricamente lineal (línea discontinua) y el análisis de segundo orden (línea continua)

Configuración de RFEM y RSTAB

Modelado en RFEM 5.05 y RSTAB 8.05 y RFEM 6.01, RSTAB 9.01
El número de elementos es 2 (un elemento por barra)
El número de incrementos es 5
Se utiliza el modelo de material elástico lineal isótropo
La estructura se modela utilizando barras
Se omite la rigidez a cortante de las barras

Resultados

Análisis geométricamente lineal	Solución analítica	RFEM 6	Razón	RSTAB 9	Razón
uz_,máx. [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
My (0) [_kNm ]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ2_,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	0,000	0,000
0,000

Análisis geométricamente lineal	Solución analítica	RFEM 5	Razón	RSTAB 8	Razón
uz_,máx. [mm]	0,743	0,743	1,000	0,743	1,000
My (0) [_kNm ]	3,000	3,000	1,000	3,000	1,000
φ2_,y [mrad]	0,619	0,619	1,000	0,619	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	0,000	0,000
0,000

Análisis de segundo orden	Solución analítica	RFEM 6	Razón	RSTAB 9	Razón
uz_,máx. [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
My (0) [_kNm ]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ2_,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

Análisis de segundo orden	Solución analítica	RFEM 5	Razón	RSTAB 8	Razón
uz_,máx. [mm]	0,878	0,878	1,000	0,878	1,000
My (0) [_kNm ]	3,527	3,527	1,000	3,527	1,000
φ2_,y [mrad]	0,732	0,732	1,000	0,732	1,000
[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]_Bz [kN]	-0,073	-0,073	1,000	-0,073	1,000

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Ejemplo de verificación 000048 | 1

Referencias

LUMPE, G. y GENSITEN, V. Evaluación del análisis de barras lineal y no lineal en teoría y software: Ejemplos de ensayos, causas de fallo, teoría detallada. Ernesto.

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