2.2.6 Dotvarování a smrštění

Dotvarování a smrštění

Tato kapitola podává přehled o časově závislých napětích a přetvořeních v důsledku dotvarování a smrštění. Vliv dotvarování a smrštění se používá při analytickém posouzení použitelnosti k určování deformace. Použití dotvarování a smršťování při nelineárním výpočtu je vysvětleno v Kapitole 2.4.6.

Dotvarování označuje časově závislou deformaci betonu pod zatížením po určité časové období. Důležité faktory se podobají těm u smršťování, přičemž důležitý vliv na dotvarování v důsledku deformací má tzv. napětí vytvářející dotvarování.  Zváštní zřetel je třeba věnovat době trvání zatížení, okamžiku zatížení a výši namáhání. Hodnota používaná pro podchycení dotvarování je součinitel dotvarování φ (t, t₀) v rozhodnou dobu t.

Smršťování popisuje změnu objemu závislou na čase bez vlivu vnější zátěže nebo teploty. Další rozčlenění smršťování do jednotlivých podob výskytu (smršťování vysycháním, autogenní smršťování, plastické smršťování a karbonatační smršťování) zde není blíže pojednáno. Důležitými vlivovými faktory smršťování jsou relativní vlhkost vzduchu, efektivní tloušťka dílce, granulace kameniva, pevnost betonu, hodnota hydraulického cementu, teplota, způsob a trvání následné péče. Hodnota používaná pro podchycení smršťování je míra smršťování ε_c,s (t, t_s) k rozhodné době t.

V následujícím textu je uveden způsob stanovení součinitele dotvarování φ (t, t₀) a míry smršťování ε_c,s (t, t_s) podle EN 1992-1-1, Kapitoly 3.1.4 a Příohy B.

Předpokladem pro použití následujících rovnic je, že napětí vytvářející dotvarování σ_c působící trvalé zátěže nepřevýší následující hodnotu:

${\sigma }_c \le 0.45 · f_{ckj }$

kde

• f_ckj :  válcová pevnost betonu v tlaku v okamžiku zatížení napětím vytvářejícím dotvarování

Za předpokladu lineárního chování dotvarování (σ_c ≤ 0.45 ⋅ f_ckj) je možné podchytit dotvarování betonu použitím redukce modulu pružnosti.

$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1 + {\phi }_{eff} \left(t,t_0\right)}$

kde

• E_cm : střední modul pružnosti podle EN 1992-1-1, Tabulka 3.1
• φ_eff (t, t₀) : efektivní součinitel dotvarování, φ_eff (t, t₀) = φ (t, t₀) ⋅ M_QS / M_Ed
• t : stáři betonu v rozhodné době ve dnech
• t₀ : stáří betonu na začátku zatížení ve dnech

Součinitel dotvarování φ (t, t₀) lze k danému okamžiku t vypočítat následovně:

$\phi \left(t,t_0\right) = {\phi }_{RH} · \beta \left(f_{cm}\right) · \beta \left(t_0\right) · \beta \left(t,t_0\right)$

kde

${\phi }_{RH} = \left[1 + \frac{1 - {\displaystyle \frac{RH}{100}}}{0.1 · \sqrt[3]{h_0}} · {\alpha }_1\right] · {\alpha }_{2 }$

• RV : relativní vlhkost vzduchu v [%]
• h₀ : efektivní tloušťka dílce v [mm]
  • h₀ = 2 ∙ A_c / u
  • A_c : plocha průřezu
  • u : obvod průřezu
• α_1,, α₂ : opravné součinitele
  • α₁ = (35 / f_cm)^0.7
  • α₂ = (35 / f_cm)^0.2
  • f_cm : střední hodnota válcové pevnosti v tlaku

$\beta \left(f_{cm}\right) = \frac{16.8}{\sqrt{f_{cm}}}$

• f_cm : střední hodnota válcové pevnosti betonu v tlaku v [N/mm²]

${\beta }_{\left(t_0\right)} = \frac{1}{0.1 + t_0^{0.20}}$

• t₀ : stáří betonu na počátku zatížení ve dnech

$\beta \left(t,t_0\right) = {\left[\frac{t - t_0}{{\beta }_H + t - t_0}\right]}^{0.3}$

• t : stáří betonu v rozhodné době ve dnech
• t₀ : stáří betonu na počátku zatížení ve dnech
• β_V = 1.5 ⋅ [1 + (0.012 ⋅ RV)¹⁸] ⋅ h₀ + 250 ⋅ α₃ ≤ 1500 ⋅ α₃
  • RV : relativní vlhkost vzduchu v [%]
  • h₀ : efektivní tloušťka dílce [mm]
  • α₃ : součinitel přizpůsobení 
  • α₃ = (35 / f_cm)^0.5 ≤ 1.0

Pro výpočet součinitele dotvarování jsou zapotřebí následující zadání:

• RV : relativní vlhkost vzduchu v [%]
• t₀ : stáří betonu na počátku zatížení ve dnech
• t : stáří betonu v rozhodné době ve dnech (volitelně ∞)

Vliv vysoké nebo nízké teploty v oblasti od 0°C do 80°C na míru vytvrzení betonu lze zohlednit opravou stáří betonu za pomoci následující rovnice:

$t_T = \sum _{i=1}^n e^{-\left[\frac{4000}{273 + T\left(∆t_i\right)} - 13.65\right]} · ∆t_{i }$

kde

Vliv druhu cementu na součinitel dotvarování lze zohlednit tím, že se změní doba zatížení t₀ za pomoci následující rovnice:

$t_0 = t_{0,T} · {\left(1 + \frac{9}{2 + {\left(t_{0,T}\right)}^{1.2}}\right)}^{\alpha } \ge 0.5$

kde

Tabulka 2.2 Průřez

Beton C25/30 Cement CEM 42,5 N RV: 50% Dvě změny teploty: 6 dní - teplota 15 °C 8 dní - teplota 7 °C Posuzované stáří betonu tk: 365 dní

Stáří betonu na počátku dotvarování:

$$\begin{gathered} t_{\tau } = \sum _{i=1}^n e^{-\left[\frac{4000}{273 + \tau \left(∆t_i\right)} - 13.65\right]} · ∆t_i = e^{-\left[\frac{4000}{273 + \tau \left(∆t_i\right)} - 13.65\right]} · 6 + e^{-\left[\frac{4000}{273 + \tau \left(∆t_i\right)} - 13.65\right]} · 8 = \\ = 8.96\text{ Tage} \end{gathered}$$

Stáří betonu pod vlivem druhu cementu:

$t_0 = t_{0,\tau } · {\left(1 + \frac{9}{2 + {\left(t_{0,\tau }\right)}^{1.2}}\right)}^{\alpha } = 8.96 · {\left(1 + \frac{9}{2 + {\left(8.96\right)}^{1.2}}\right)}^0 =8.96 \text{Tage}$

Efektivní tloušťky dílců:

$h_0 = \frac{2 · A_c}{u} = \frac{2 · 0.3 · 0.5}{2 · \left(0.3 + 0.5\right)} = 0.1875 cm$

Součinitel dotvarování:

$\phi \left(t,t_0\right) = {\phi }_{RH} · \beta \left(f_{cm}\right) · \beta \left(t_0\right) · {\beta }_c\left(t,t_0\right) = 1.933· 2.923 · 0.606 · 0.758 = 2.595$

kde

$$\begin{gathered} {\phi }_{RH} = \left[1 + \frac{1 - {\displaystyle \frac{RH}{100}}}{0.1 · \sqrt[3]{h_0}} · {\alpha }_1\right] · {\alpha }_2 = \left[1 + \frac{1 - {\displaystyle \frac{50}{100}}}{0.1 · \sqrt[3]{187.5}} · 1.042\right] ·1.012 = 1.933 \\ {\alpha }_{1 }= {\left(\frac{35}{f_{cm}}\right)}^{0.7} = {\left(\frac{35}{33}\right)}^{0.7} = 1.042 \\ {\alpha }_2 = {\left(\frac{35}{f_{cm}}\right)}^{0.2} = {\left(\frac{35}{33}\right)}^{0.2} = 1.012 \end{gathered}$$

$\beta \left(f_{cm}\right) = \frac{16.8}{\sqrt{f_{cm}}} = \frac{16.8}{\sqrt{33}} = 2.923$

${\beta }_{\left(t_0\right)} = \frac{1}{0.1 + t_0^{0.2}} = \frac{1}{0.1 + 8.{96}^{0.2}} = 0.606$

${\beta }_c \left(t, t_0\right) = {\left[\frac{t - t_0}{{\beta }_H + t - t_0}\right]}^{0.3} = {\left[\frac{365 - 8.96}{538.779 + 365 - 8.96}\right]}^{0.3} = 0.758$

$$\begin{gathered} {\beta }_H = 1.5 \left[1 + (0.012 · RH{)}^{18}\right] · h_0 + 250 · {\alpha }_3 = \\ = 1.5 · \left[1 + {\left(0.012 · 50\right)}^{18}\right] · 187.5 + 250 · 1.030 = 538.779 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\beta }_H \le 1500 · {\alpha }_3 = 1500 · 1.030 = 1545 \\ {\alpha }_3 = {\left(\frac{35}{33}\right)}^{0.5} = 1.030 \end{gathered}$$

Při stanovení míry smršťování ε (t, t_s) podle EN 1992-1-1, Kapitola 3.1.4 lze vypočítat poměrné smršťování ε_cs (t) ze souhrnu komponentů autogenního smršťování ε_ca (t) a ze smršťování vysycháním ε_ca (t, ts).

${\epsilon }_{cs} \left(t\right) = {\epsilon }_{ca} \left(t\right) + {\epsilon }_{cd} \left(t,t_s\right)$

Poměrné autogenní smršťování ε_ca (smršťování) k rozhodné době vyplývá z:

${\epsilon }_{ca}\left(t\right) = {\beta }_{as} \left(t\right) · {\epsilon }_{ca}\left(\infty \right)$

kde

${{\beta }_{as}}_{ }\left(t\right) = 1 - e^{-0.2·\sqrt{t}}$

${\epsilon }_{ca }\left(\infty \right) = 2.5 · \left(f_{ck} - 10\right) · {10}^{-6} f_{ck}{\text{ in [N/mm}}^2]$

Podíl ze smršťování v důsledku vysýchání ε_cd se stanoví následovně:

${\epsilon }_{cd }\left(t,t_s\right) = {\beta }_{ds} \left(t,t_s\right) · k_h · {\epsilon }_{cd,0} \left(f_{cm}\right)$

kde

${\beta }_{ds}\left(t,t_s\right) = \frac{t - t_s}{t - t_s + 0.04 · \sqrt{h_0^3}}$

• t stáří betonu ve dnech k rozhodné době
• t_s stáří betonu ve dnech na počátku smršťování
• h₀ efektivní tloušťka průřezu v [mm] : h₀ = 2 ⋅ A_c / u

${\epsilon }_{cd,0} = 0.85 ·\left[\left(220 + 110 +{\alpha }_{ds1}\right) · e^{-{\alpha }_{ds2} \frac{f_{cm}}{f_{cm0}}}\right] · {10}^{-6} · {\beta }_{RH }$

• f_cm : střední válcová pevnost betonu v tlaku v [N/mm²]
• f_cm0 : 10 N/mm²

${\beta }_{RH} = 1.55 · \left[1 - {\left(\frac{RH}{R{H}_0}\right)}^3\right]$

• RV relativní okolní vlhkost vzduchu v [%]
• RV₀ 100 %

Beton C25/30

Cement CEM 42.5 N

RV: 50 %

Stáří betonu t_s na počátku smršťování: 28 dní

Posuzované stáří betonu t: 365 dní

Efektivní tloušťka průřezu:

$h_0 = \frac{2 · A_c}{u} = \frac{2 · 0.3 · 0.5}{2 · \left(0.3 + 0.5\right)} = 0.1875 \text{m}$

Autogenní smšťování:

${\epsilon }_{ca}\left(t\right) = {\beta }_{as}\left(t\right) · {\epsilon }_{ca}\left(\infty \right) = 0.978 · 0.0000375 = 0.0000367$

kde

$$\begin{gathered} {\beta }_{as}\left(t\right) = 1 - e^{-0.2t^{0.5}} = 1 - e^{-0.2·\sqrt{365}} = 0.978 \\ {\epsilon }_{ca}\left(\infty \right) = 2.5 · \left(f_{ck} - 10\right) · {10}^{-6} = 2.5 · \left(25 - 10\right) · {10}^{-6} = 0.0000367 \end{gathered}$$

Smršťování vysycháním:

${\epsilon }_{cd}\left(t,t_s\right) = {\beta }_{ds}\left(t,t_s\right) · k_h · {\epsilon }_{cd,0} = 0.766 · 0.87 · 0.000512 = 0.000341$

kde

${\beta }_{ds}\left(t,t_s\right) = \frac{t - t_s}{t - t_s + 0.04 · \sqrt{h_0^3}} = \frac{365 - 28}{365 - 28 + 0.04 ·\sqrt{187.5^3}} = 0.766$

$h_0 = 187.5 \text{mm} \Rightarrow k_h = 0.87$

$$\begin{gathered} {\epsilon }_{cd,0} = 0.85 · \left[\left(220 + 110 · {\alpha }_{ds1}\right) · e^{-{\alpha }_{ds2}\frac{f_{cm}}{f_{cm0}}}\right] · {10}^{-6} · {\beta }_{RH} = \\ = 0.85· \left[\left(220 + 110 ·4\right) · e^{-0.12\frac{33}{10}}\right] · {10}^{-6} · 1.356 = 0.000512 \end{gathered}$$

${\beta }_{RH} = 1.55 · \left[1 - {\left(\frac{RH}{R{H}_0}\right)}^3\right] = 1.55 · \left[1 - {\left(\frac{50}{100}\right)}^3\right] = 1.356$

Třída cementu N ⇒ α_ds1 = 4; α_ds2 = 0.12

Celková míra smršťování:

${\epsilon }_{ }\left(t,t_s\right)={\epsilon }_{cd }\left(t,t_s\right)+{\epsilon }_{ca} \left(t\right)=0.0000367+0.000341=0.000378=0.378 \text{‰}$