Généralités
Les simulations effectuées à l’aide de la méthode des éléments finis sont basées sur ce que nous appelons la discrétisation. Un problème avec une solution inconnue est décomposé en sous-problèmes pour lesquels une solution approximative peut être déterminée.
Dans le cas présent, il s’agit d’une décomposition géométrique en composants finis (éléments), dont le comportement physique peut être décrit de manière approximative par des fonctions d’approximation.
Cela démontre la pertinence de réaliser une étude de convergence du maillage. Le maillage EF est généralement affiné itérativement à partir du maillage grossier. L’objectif est de sélectionner un maillage qui fournisse des résultats suffisamment précis. Le but est de trouver une voie intermédiaire.D’une part, le maillage doit être suffisamment fin pour qu’un raffinement supplémentaire n’entraîne pas d’augmentation significative de la précision, d’autre part, il doit être aussi grossier que possible afin de gagner du temps de calcul et d’économiser de l’espace disque.
Lorsque la limite de convergence est atteinte, par exemple, moins de 1 % de variation des résultats entre les étapes, la solution est stable. En général, la convergence a plus de chances d’être atteinte pour les déplacements que pour les résultats de valeur élevée, tels que les contraintes et les déformations. Il est important de choisir un point dédié pour la vérification, car la modification du maillage peut également entraîner la modification des coordonnées des nœuds du maillage EF. Vous pouvez le faire dans RFEM, par exemple par l’évaluation sur les nœuds définis géométriquement ou sur les points de résultat de surface supplémentaires.Vous pouvez contrôler le maillage dans RFEM à l’aide de différents paramètres de maillage. Il peut être recommandé de ne pas affiner le modèle entier si les résultats dépendent du maillage local. À cet effet, RFEM offre l’option du raffinement local du maillage EF.
Exemple de déformation sur un porte-à-faux
Comme déjà mentionné, il est plus facile de provoquer une convergence pour les déformations. Vous pouvez voir ci-dessous un exemple selon Bernd Klein [1], qui analyse l’influence du maillage pour le déplacement de l’extrémité d'un porte-à-faux. Le modèle est composé d’un porte-à-faux en aluminium de 100 mm de long avec un module d’élasticité de 70 GPa. La section est une tôle plane de 20 mm de hauteur et de 1 mm de largeur. Une charge de 1 kN est appliquée à l’extrémité du porte-à-faux.
L’objectif est de vérifier la déformation à l’extrémité du porte-à-faux, qui a été modélisé à l’aide de surfaces, en fonction de la densité du maillage. De plus, différents types de maillages, d’éléments triangulaires et quadrangulaires ont été analysés. À des fins de comparaison, la modélisation a également été effectuée à l’aide d’éléments de poutre, avec (Tomochenko) et sans considération de la déformation de cisaillement (Bernoulli). Le modèle des éléments de poutre et du quadrangle, ainsi que les résultats obtenus, sont affichés dans la figure ci-dessous.
Comme vous pouvez le voir, le maillage de l’élément de poutre n’a aucune influence sur la déformation du nœud d’extrémité. Cependant, la déformation de cisaillement est considérée comme prévu. Avec 7,145 mm, la déformation sans distorsion de cisaillement (Bernoulli) est plus faible que selon Timochenko avec 7,365 mm. Les déformations des surfaces du porte-à-faux se rapprochent de cette valeur à mesure que le raffinement du maillage augmente. Ces relations sont clairement visibles sur le diagramme suivant.
Exemple de contrainte et de déformation sur une plaque
L’exemple suivant montre l’influence du maillage sur les résultats de contrainte et de déformation calculés. Une surface avec une charge rectangulaire libre et des appuis linéiques de levage a été modélisée.
La convergence du maillage est vérifiée en un point de résultat de surface situé à un coin de la charge rectangulaire libre. La figure ci-dessous illustre ce principe. La fenêtre supérieure affiche le modèle avec le maillage, la fenêtre du milieu affiche les premières contraintes principales obtenues, et la fenêtre inférieure affiche celles des premières déformations principales. Le maillage augmente dans les modèles de gauche à droite.
Le diagramme suivant montre comment les valeurs de contrainte et de déformation sont approximées par rapport à une valeur limite par le raffinement de maillage croissant. C’est cela, le comportement de convergence. Étant donné que la valeur réelle de la contrainte ne peut pas être déterminée de manière tridimensionnelle, il est possible d’évaluer le changement relatif par rapport à l’étape de maillage précédente. Ceci est affiché dans la partie inférieure du diagramme. Avec une longueur visée des éléments EF de 0,01 m, la contrainte et la déformation ne diffèrent que d’environ 0,2% par rapport à l’étape de raffinement précédente
Remarques finales
Les exemples choisis ici montrent une procédure simplifiée pour l’analyse de la convergence du maillage. Cependant, n’oubliez pas que dans la simulation individuelle, d’autres paramètres peuvent être la cible de cette analyse. De plus, divers facteurs peuvent entraîner des exigences modifiées. Elles peuvent être, par exemple, de nature géométrique, alors la courbure doit être représentée très précisément par les éléments. De plus, l’analyse des dommages locaux (par exemple, le comportement de rupture fragile) nécessite un maillage relativement plus fin que pour la plastification.
Si le maillage n’est pas approximé à une valeur limite dans le cas d’un raffinement de maillage croissant, il peut s’agir d’un problème de singularité. De plus amples informations sont disponibles dans l’article de notre base de connaissance via le lien ci-dessous.