Método de cálculo para determinar la resistencia a fallo del terreno según el Eurocódigo 7 (EN 1997-1)

Im Eurocode 7 gibt es drei Nachweisverfahren für die Ermittlung der Grundbruchsicherheit.

• Verfahren 1

• Verfahren 2

• Verfahren 3

In diesem Artikel werden die Verfahren am Modell einer Fundamentplatte mit Stütze verglichen. Die Unterschiede zwischen den einzelnen Verfahren liegen in den Teilsicherheitsbeiwerten, die sich auf verschiedene Einflussgrößen auswirken. Dazu zählen die Einwirkungen oder Beanspruchungen, die Bodenkenngrößen und Widerstände. Es ist wichtig zu erwähnen, dass diese Abminderungen oder Erhöhungen teilweise auch in Kombination in den Verfahren auftreten. Zusätzlich beschreibt der deutsche Nationale Anhang Sonderregelungen für die Anwendung des Verfahrens 2, das in der Fachwelt als Nachweisverfahren 2* oder 2+ bezeichnet wird. Nachfolgend und in RFEM 6 wird für dieses Verfahren die Bezeichnung 2* verwendet.

System Fundamentplatte mit Stütze

Losa de cimentación

• Duración: w_x = 2,50 m
• Anchura: w_y = 2,50 m
• Espesor: t = 1,00 m
• Einbindetiefe: D = 1,00 m
• Eigengewicht G_p,k = 156,25 kN mit γ = 25 kN/m³

Pilar

• Duración: c_x = 0,50 m
• Anchura: c_y = 0,50 m
• Altura: h = 4,00 m
• Peso propio: G_c,k = 25 kN mit γ = 25 kN/m³

parámetro del suelo

• Reibungswinkel: φ'_d = 32°
• Scherparameter Kohäsion: c'_k = 15 kN/m²
• Wichte Boden neben der Fundamentplatte: γ_1,k 20 kN/m³
• Wichte Boden unterhalb der Fundamentplatte: γ_2,k = 20 kN/m³

Lastfall 1 - Ständige Belastungen

• Vertikal: V_G,z,k = 975 kN

Inklusive des Eigengewichts der Stütze G_c,k = 25 kN und des Fundaments G_p,k = 156,25 kN beläuft sich die Summe der ständigen Vertikallasten auf V_G,k,ges = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156,25 kN. Das Eigengewicht des Fundaments wird automatisch mit dem Eigengewicht der Struktur berücksichtigt, solange der Haken bei "Aktives Eigengewicht" gesetzt ist. Falls das Eigengewicht manuell eingegeben werden soll, müssen zusätzliche Lasten für das Fundament definiert werden.

Lastfall 2 - veränderliche Belastungen

• Vertikal: V_Q,z,k = 1000 kN
• Horizontal: H_Q,x,k = 190 kN

coeficientes parciales

In der nachfolgenden Tabelle werden die Teilsicherheitsbeiwerte nach EN 1997-1, A.3 gezeigt.

Einwirkungen (Actions A)	Symbol	A1	A2
Cargas permanentes	γ Método de diseño 1 (Combinación 1-2)	1,35	1.00
veränderliche Lasten	γQ	1.50	1.30
Bodenkenngrößen (Material M)	Symbol	M1	M2
wirksame Scherwinkel	γ’φ	1.00	1,25
cohesión efectiva	γ’c	1.00	1,25
densidad del peso aparente	γγ	1.00	1.00
Widerstände (Resistance R)	Symbol	R1	R2	R3
Fallo del terreno	γR;v	1.00	1.40	1.00
deslizamiento	γR;h	1.00	1.40	1.00

Planteamiento 1

In diesem Nachweisverfahren werden zwei verschiedene Sätze von Teilsicherheitsbeiwerten verwendet.

In der ersten Kombination 1-1 kommen die Teilsicherheitsbeiwerte A1, M1 und R1 zum Einsatz, wobei A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) die ungünstigen Einwirkungen auf das Fundament erhöht, während M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) die Bodenkennwerte und R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) die Widerstände nicht abmindert.

In der zweiten Kombination 1-2 werden A2, M2 und R1 verwendet, wobei A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) die Einwirkungen weniger stark erhöht als A1, während M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) die Bodenkennwerte abmindert, wodurch der Widerstand des Bodens gegen einen Grundbruch verringert wird.

Für den Nachweis muss die Berechnung mit beiden Sätzen an Teilsicherheitsbeiwerten durchgeführt werden, wobei der Satz mit der höheren Ausnutzung maßgebend ist.

Verfahren 1 (Kombination 1-1) nach EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Berechnung des Grundbruchwiderstandes

Exzentrizität e_x der wirksamen Vertikallast in x-Richtung

Die Bemessungsquerkraft mit zusätzlichen Fundamentlasten V_z,+add sowie der Wert des resultierenden Bemessungsbiegemoments M_y,+add in der Fundamentsohlenmitte werden benötigt, um die Exzentrizität der wirksamen Vertikallasten zu bestimmen.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Rechnerische Sohllänge, -Breite und Fläche

Durch die exzentrische Belastung wird die anrechenbare Fundamentfläche verringert.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Rechnerische Länge: L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Rechnerische Breite: B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Rechnerische Fläche: A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Zu verwendende Bodenkennwerte

Reibungswinkel: φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Scherparameter Kohäsion: c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Wichte Boden: γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Der Reibungswinkel φ' beschreibt den Winkel, bei dem die Scherfestigkeit eines Bodens durch Reibung zwischen den Bestandteilen des Bodens erreicht wird. Im Gegensatz dazu bezieht sich die Kohäsion c' auf den Anteil der Scherfestigkeit, der durch innere Bindungskräfte zwischen den Bodenbestandteilen entsteht – unabhängig von der aufgebrachten Spannung. Beide Parameter spielen eine zentrale Rolle bei der Bestimmung der Scherfestigkeit eines Bodens unter verschiedenen Lastbedingungen. Die Wichte des Bodens neben der Fundamentplatte wird mit γ_1d, die Wichte des Bodens unterhalb der Fundamentplatte mit γ_2d bezeichnet.

Tragfähigkeitsbeiwerte

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

Der Beiwert N_q berücksichtigt die Tragfähigkeit aufgrund des Eigengewichts des Bodens.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

Der Beiwert N_c berücksichtigt die Tragfähigkeit aufgrund der Kohäsion des Bodens.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ‘_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 mit δ ≥ φ'_d / 2 (raue Sohlfläche)

Der Beiwert N_γ berücksichtigt die Tragfähigkeit aufgrund der Scherfestigkeit des Bodens.

Sohlflächenneigung

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

In diesem Beispiel ist die Sohlflächenneigung α = 0° und hat dementsprechend keinen Einfluss auf den Grundbruchnachweis.

Formbeiwerte für Rechteck-Querschnitte

Die Formeln für andere Querschnitte sind dem Eurocode 1997-1, D.4 zu entnehmen.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Neigungsbeiwerte

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω)
= 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m
= (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d))
= 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1
= (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

Der Neigungsbeiwert ist abhängig von dem Winkel ω .

resistencia al aplastamiento

Einfluss Gründungstiefe (Boden neben dem Fundament und zusätzliche Belastungen):

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² mit q'_d = γ_1d ⋅ D

Einfluss Kohäsion:

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Einfluss Gründungsbreite (Boden unter dem Fundament):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² mit γ'_d = γ_2d

Empuje admisible del terreno:

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Vorhandene Bodenpressung:

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Razón de tensiones

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Verfahren 1 (Kombination 1-2) nach EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Berechnung des Grundbruchwiderstandes

Exzentrizität e_x der wirksamen Vertikallast in x-Richtung

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Rechnerischen Sohllänge, -Breite und Fläche

Rechnerische Länge: L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Rechnerische Breite: B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Rechnerische Fläche: A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Zu verwendende Bodenkennwerte

Reibungswinkel: φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Scherparameter Kohäsion: c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Wichte Boden: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Tragfähigkeitsbeiwerte

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 mit δ ≥ φ'_d / 2 (raue Sohlfläche)

Sohlflächenneigung

b_q = b_c = b_γ = 1 da α = 0°

Formbeiwerte für Rechteck-Querschnitte

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Neigungsbeiwerte

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

resistencia al aplastamiento

Einfluss Gründungstiefe (Boden neben dem Fundament und zusätzliche Belastungen):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² mit q'_d = γ_1d ⋅ D

Einfluss Kohäsion:

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Einfluss Gründungsbreite (Boden unter dem Fundament):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² mit γ'_d = γ_2d

Empuje admisible del terreno:

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Vorhandene Bodenpressung:

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Razón de tensiones

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Nachweis Verfahren 1

η = max(η₁; η₂) = max(0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Verfahren 2 nach EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

In diesem Nachweisverfahren wird ein Satz von Teilsicherheitsbeiwerten A1, M1 und R2 verwendet, wobei A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) die ungünstigen Einwirkungen auf das Fundament erhöht, während M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) die Bodenkennwerte nicht abmindert. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) vermindert hingegen die Widerstände.

Berechnung des Grundbruchwiderstandes

Exzentrizität e_x der wirksamen Vertikallast in x-Richtung

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Rechnerischen Sohllänge, -Breite und Fläche

Rechnerische Länge: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Rechnerische Breite: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Rechnerische Fläche: A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Zu verwendende Bodenkennwerte

Reibungswinkel: φ'_d = 32°

Scherparameter Kohäsion: c'_d = 15 kN/m²

Wichte Boden: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Tragfähigkeitsbeiwerte

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 mit δ ≥ φ‘_d / 2 (raue Sohlfläche)

Sohlflächenneigung

b_q = b_c = b_γ = 1 da α = 0°

Formbeiwerte für Rechteck-Querschnitte

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1) / (23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Neigungsbeiwerte

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

resistencia al aplastamiento

Einfluss Gründungstiefe (Boden neben dem Fundament und zusätzliche Belastungen):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² mit q‘_d = γ_1d ⋅ D

Einfluss Kohäsion:

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Einfluss Gründungsbreite (Boden unter dem Fundament):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² mit γ‘_d = γ_2d

Empuje admisible del terreno:

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Vorhandene Bodenpressung:

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Nachweis Verfahren 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Verfahren 2* nach EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

In diesem Nachweisverfahren wird ein Satz von Teilsicherheitsbeiwerten A1, M1 und R2 verwendet, wobei A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) die ungünstigen Einwirkungen auf das Fundament erhöht, während M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) die Bodenkennwerte nicht abmindert. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) vermindert hingegen die Widerstände.

Die Exzentrizität der Resultierenden und die Neigungsbeiwerte werden nicht wie im Verfahren 2 mit den Bemessungswerten der Einwirkungen, sondern mit den charakteristischen Einwirkungen ermittelt. In den meisten Fällen führt dies zu kleineren Exzentrizitäten und damit zu einer größeren rechnerischen Fläche, wodurch die zulässige Bodenpressung höher ist als bei Verfahren 2.

Berechnung des Grundbruchwiderstandes

Exzentrizität e_x der wirksamen Vertikallast in x-Richtung

Hier werden im Gegensatz zu den anderen Verfahren die charakteristischen Werte der Vertikallast mit zusätzlichen Fundamentlasten V_z,+add,k sowie der charakteristische Wert des resultierenden Bemessungsbiegemoments in der Fundamentsohlenmitte M_y,+add,k zur Ermittlung der vorhandenen Exzentrizität verwendet.

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 190 kN = 950 kNm

e_x = -950 kNm / 2156,25 kN = -0,441 m

Rechnerischen Sohllänge, -Breite und Fläche

Rechnerische Länge: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 2,500 m

Rechnerische Breite: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 1,619 m

Rechnerische Fläche: A' = 2,500 m ⋅ 1,619 m = 4,047 m²

Zu verwendende Bodenkennwerte

Reibungswinkel: φ‘_d = 32°

Scherparameter Kohäsion: c‘_d = 15 kN/m²

Wichte Boden: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Tragfähigkeitsbeiwerte

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 mit δ ≥ φ‘_d / 2 (raue Sohlfläche)

Sohlflächenneigung

b_q = b_c = b_γ = 1 da α = 0°

Formbeiwerte für Rechteck-Querschnitte

s_q = 1 + 1,619 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,343

s_c = (1,343 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,359

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,619 m / 2,500 m = 0,806

Neigungsbeiwerte

m = (2 + 1,619 m / 2,500 m) / (1 + 1,619 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,607

i_q = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,607 = 0,868

i_c = 0,868 - (1 - 0,868) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,862

i_γ = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,607 + 1} = 0,795

resistencia al aplastamiento

Einfluss Gründungstiefe (Boden neben dem Fundament und zusätzliche Belastungen):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,343 ⋅ 0,868 = 540,42 kN/m² mit q'_d = γ_1d ⋅ D

Einfluss Kohäsion:

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,862 = 623,50 kN/m²

Einfluss Gründungsbreite (Boden unter dem Fundament):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,619 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,806 ⋅ 0,795 = 287,33 kN/m² mit γ'_d = γ_2d

Empuje admisible del terreno:

σ_R,k = 540,42 kN/m² + 623,50 kN/m² + 287,33 kN/m² = 1451,25 kN/m²

σ_R,d = 1451,25 kN/m² / 1,40 =1036,61 kN/m²

Vorhandene Bodenpressung:

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

σ_E,d = 3060,94 kN / 4,047 m² = 756,33 kN/m²

Nachweis Verfahren 2*

η = 756,33 kN/m² / 1036,61 kN/m² = 0,730 ≤ 1

Verfahren 3 nach EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

In diesem Nachweisverfahren wird ein Satz von Teilsicherheitsbeiwerten A1 bzw. A2, M2 und R3 verwendet. Bei Einwirkungen aus dem Tragwerk werden die Teilsicherheitsbeiwerte aus dem Datensatz A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,50) verwendet, während geometrische Einwirkungen mit dem Datensatz A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) erhöht werden müssen. Zusätzlich werden die Bodenkennwerte mit M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ=1,00) abgemindert. R3 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) mindert die Widerstände nicht ab.

Berechnung des Grundbruchwiderstandes

Exzentrizität e_x der wirksamen Vertikallast in x-Richtung

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Rechnerischen Sohllänge, -Breite und Fläche

Rechnerische Länge: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Rechnerische Breite: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Rechnerische Fläche: A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Zu verwendende Bodenkennwerte

Reibungswinkel: φ'_d = arctan(tan(32°) / 1,25) = 26,56°

Scherparameter Kohäsion: c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Wichte Boden: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Tragfähigkeitsbeiwerte

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 mit δ ≥ φ‘_d / 2 (raue Sohlfläche)

Sohlflächenneigung

b_q = b_c = b_γ = 1 da α = 0°

Formbeiwerte für Rechteck-Querschnitte

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,281

s_c = (1,281 ⋅ 12,59 - 1) / (12,59 - 1) = 1,305

s_γ = 1-0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Neigungsbeiwerte

m = (2 + 1,569 m / 2,500 m)/ (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (12,59 ⋅ tan(26,56°) ) = 0,846

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,614 + 1} = 0,781

resistencia al aplastamiento

Einfluss Gründungstiefe (Boden neben dem Fundament und zusätzliche Belastungen):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,281 ⋅ 0,858 = 276,70 kN/m² mit q'_d = γ_1d ⋅ D

Einfluss Kohäsion:

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,305 ⋅ 0,846 = 307,07 kN/m²

Einfluss Gründungsbreite (Boden unter dem Fundament):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 115,19 kN/m² mit γ'_d = γ_2d

Empuje admisible del terreno:

σ_R,k = σ_R,d = 276,70 kN/m² + 307,07 kN/m² + 115,19 kN/m² = 698,95 kN/m²

Vorhandene Bodenpressung:

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Nachweis Verfahren 3

η = 780,40 kN/m² / 698,95 kN/m² = 1,117 ≥ 1

Nachweise im Vergleich

Die Unterschiede in der Nachweisführung der Verfahren 1 (Kombination 1-1), 1 (Kombination 1-2), 2, 2* und 3 bestehen hauptsächlich in den Teilsicherheitsbeiwerten. In folgender Tabelle sind die Auswirkungen der unterschiedlichen Sicherheitskonzepte deutlich zu erkennen.

	Zeichen	Einheit	Verfahren
			1-1	1-2	2	2*	3
Teilsicherheitsbeiwerte (Actions A)	I	[−]	1	2	1	1	1 (2) 1)
	γ Método de diseño 1 (Combinación 1-2)	[−]	1,35	1.00	1,35	1,35	1,35 (1,00)
	γQ	[−]	1.50	1.30	1.50	1.50	1,50 (1,30)
Vertikallast in z	VG,z+add,k	kN	1156,25
	VQ,z	kN	1000
	∑Vz+add,k	kN	2156,25
	Vz+add,d	kN	3060,94	2456,25	3060,94	3060,94	3060,94
Horizontal Last in x	HQ,x,k	kN	190
	HQ,x,d	kN	285	247	285	285	285
Lasten zur Berechnung der Widerstände	Vz	kN	3060,94	2456,25	3060,94	2156,25 2)	3060,94
	hx	kN	285	247	285	1902)	285
Bemessungsmoment in Fundamentsohle	My,x+add	kNm	1425	1235	1425	950	1425
Exzentrizität in x	ex	m	-0,466	-0,503	-0,466	-0,441	-0,466
Rechnerische Länge	L'	m	2,500
Rechnerische Breite	B'	m	1,569	1,494	1,569	1,619	1,569
Rechnerische Fläche	A'	m²	3,922	3,736	3,922	4,047	3,922
Teilsicherheitsbeiwerte (Material M)	M	[−]	1	2	1	1	2
	γ‘φ	[−]	1.00	1,25	1.00	1.00	1,25
	γ‘c	[−]	1.00	1,25	1.00	1.00	1,25
	γγ	[−]	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00
ángulo de fricción	φ'k	°	32
	φ'd	°	32	26,56	32	32	26,56
Cohesión	c’k	kN/m²	15
	c'd	kN/m²	15	12	15	15	12
densidad del peso aparente	γ1,k= γ2,k	kN/m³	20
	γ1,d= γ2,d	kN/m³	20
Coeficiente de capacidad de carga	Nq	[−]	23,18	12,59	23,18	23,18	12,59
	Nc	[−]	35,49	23,18	35,49	35,49	23,18
	Nγ	[−]	27,72	11,59	27,72	27,72	11,59
Formbeiwert für Rechteck-Querschnitte	sq	[−]	1,333	1,267	1,333	1,343	1,281
	sc	[−]	1,348	1,290	1,348	1,359	1,305
	sγ	[−]	0,812	0,821	0,812	0,806	0,812
	m	[−]	1,614	1,626	1,614	1,607	1,614
Neigungsbeiwerte	iq	[−]	0,858	0,847	0,858	0,868	0,858
	ic	[−]	0,852	0,834	0,852	0,862	0,846
	iγ	[−]	0,781	0,765	0,781	0,795	0,781
Spannung Gründungstiefe	σR,q	kN/m²	530,14	270,26	530,14	540,42	276,70
Spannung Kohäsion	σR,c	kN/m²	611,11	299,31	611,11	623,50	307,07
Spannung Gründungstiefe	σR,γ	kN/m²	275,57	108,68	275,57	287,33	115,19
Teilsicherheitsbeiwerte (Resistance R)	[SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION]	[−]	1	1	2	2	3
	γR;v	[−]	1.00	1.00	1.40	1.40	1.00
presión admisible del suelo	σR,k	kN/m²	1416,83	678,25	1416,25	1451,25	698,95
	σR,d	kN/m²	1416,83	678,25	1012,02	1036,61	698,95
Vorhandene Bodenpressung	σE,d	kN/m²	780,40	657,45	780,40	756,33	780,40
Razón de tensiones	η	[−]	0,551	0,969	0,771	0,730	1,117
			0,969
1) Bei Einwirkungen aus dem Tragwerk werden die Teilsicherheitsbeiwerte aus dem Datensatz A1 verwendet, während geometrische Einwirkungen mit dem Datensatz A2 erhöht werden müssen.
2) Für die Ermittlung des Widerstands werden im Verfahren 2* die charakteristischen Einwirkungen verwendet.

Conclusión

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Verfahren aus EN 1997-1 unterschiedliche Sicherheitsniveaus und ökonomische Effizienz bieten.

Verfahren 1 zeichnet sich dadurch aus, dass es zwei Kombinationen mit unterschiedlichen Sicherheitskonzepten erfordert. Dies ermöglicht eine differenzierte Betrachtung der Sicherheitsanforderungen und stellt sicher, dass die Kombination mit der höheren Auslastung maßgebend ist. Kombination 1-1 erhöht die Einwirkungen auf das Fundament, während Kombination 1-2 die Materialkennwerte abmindert.

Verfahren 2 und Verfahren 2* vereinfachen die Nachweisführung im Vergleich zu Verfahren 1, da sie jeweils nur einen Datensatz verwenden. Dieser Datensatz erhöht die Einwirkungen und reduziert die Widerstände, ohne die Bodenkennwerte abzumindern. Bei der Berechnung des Grundbruchwiderstands des Bodens sind die Lage (Exzentrizität) und die Lastneigung der Resultierenden wichtige Eingangsgrößen. Verfahren 2 nutzt hierfür die Designwerte, während Verfahren 2* mit den charakteristischen Einwirkungen arbeitet, was zu einem größeren Grundbruchwiderstand bei Verfahren 2* führt.

Verfahren 3 führt meist zu besonders konservativen Ergebnissen, da der hier verwendete Datensatz an Teilsicherheitsbeiwerten sowohl die Einwirkungen erhöht als auch die Bodenkennwerte abmindert, ohne dabei die Widerstände abzumindern. Dieses Verfahren bietet in der Regel das höchste Sicherheitsniveau.