Méthode de calcul pour la détermination de la résistance à la rupture du sol selon l’Eurocode 7 (EN 1997-1)

L’Eurocode 7 répertorie trois méthodes de calcul pour la détermination de la résistance à la rupture du sol.

• Méthode 1

• Méthode 2

• Méthode 3

Dans cet article, les méthodes sont comparées sur le modèle d’un radier avec un poteau. Les différences entre les méthodes résident dans les facteurs partiels de sécurité qui affectent différentes valeurs d’influence. Elles incluent les actions ou les charges, les paramètres du sol et les résistances. Il est important de noter que ces réductions ou augmentations se produisent parfois avec les méthodes combinées. De plus, l’Annexe nationale allemande décrit des règles spéciales pour l’application de la méthode 2, également connue sous le nom de méthode de calcul 2* ou 2+. Ci-après et dans RFEM 6, le terme 2* désigne cette méthode.

Système de radier avec poteau

Radier

• Longueur : w_x = 2,50 m
• Largeur : w_y = 2,50 m
• Épaisseur : t = 1,00 m
• Profondeur d’encastrement : D = 1,00 m
• Poids propre G_p,k = 156,25 kN avec γ = 25 kN/m³

Colonne

• Longueur : c_x = 0,50 m
• Largeur : c_y = 0,50 m
• Hauteur : h = 4,00 m
• Poids propre : G_c,k = 25 kN avec γ = 25 kN/m³

Paramètres de sol

• Angle de friction : φ'_d = 32°
• Paramètre de cisaillement pour la cohésion : c'_k = 15 kN/m²
• Densité du sol à côté du radier : γ_1,k 20 kN/m³
• Densité brute du sol sous le radier : γ_2,k = 20 kN/m³

Cas de charge 1 - Charges permanentes

• Verticale : V_G,z,k = 975 kN

En incluant le poids propre du poteau G_c,k = 25 kN et de la fondation G_p,k = 156,25 kN, la somme des charges verticales permanentes est V_G,k,tot = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1 156,25 kN. Le poids propre de la fondation est automatiquement pris en compte avec le poids propre de la structure tant que la case « Poids propre activé » est cochée. Si vous voulez entrer le poids propre manuellement, vous devez définir des charges supplémentaires pour la fondation.

Cas de charge 2 - Charges variables

• Verticale : V_Q,z,k = 1000 kN
• Horizontal : H_Q,x,k = 190 kN

Facteurs partiels de sécurité

Le tableau suivant indique les coefficients partiels de sécurité selon l’EN 1997-1, A.3.

Actions A	Symbole	A1	A2
Charges permanentes	γG	1,35	1,00
Charges variables	γQ	1,50	1,30
Paramètres de sol (matériau M)	Symbole	M1	M2
Angles de cisaillement efficaces	γ’φ	1,00	1,25
cohésion effective	γ’c	1,00	1,25
Densité brute	γγ	1,00	1,00
Résistance R	Symbole	R1	R2	R3
Rupture du sol	γR;v	1,00	1,40	1,00
Glissement	γR;h	1,00	1,40	1,00

Méthode 1

Avec cette méthode de calcul, deux ensembles différents de facteurs partiels de sécurité sont utilisés.

Dans la première combinaison 1-1, les facteurs partiels de sécurité A1, M1 et R1 sont utilisés. A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) augmente les actions défavorables sur la fondation, M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) ne réduit pas les paramètres du sol et R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) ne réduit pas les résistances.

Dans la deuxième combinaison 1-2, A2, M2 et R1 sont utilisés. A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) amplifie les actions de manière moins significative par rapport à A1, et M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) réduit les paramètres du sol, réduisant sa résistance à la rupture.

Pour la vérification, le calcul doit être effectué avec les deux ensembles de facteurs partiels de sécurité et l’ensemble avec le ratio le plus élevé est déterminant.

Méthode 1 (combinaison 1-1) selon l’EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Calcul de la résistance à la rupture du sol

Excentrement e_x de la charge verticale efficace en direction x

L’effort tranchant de calcul avec les charges de fondation supplémentaires V_z,+add ainsi que la valeur du moment fléchissant de calcul résultant M_y,+add au centre de la base de fondation sont requis pour la détermination de l’excentrement des charges verticales efficaces.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

La charge excentrée réduit la surface de fondation admissible.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Longueur efficace : L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Aire efficace : A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de friction : φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Paramètre de cisaillement pour la cohésion : c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Densité brute : γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

L’angle de friction φ' décrit l’angle selon lequel la résistance au cisaillement d’un sol est atteinte par friction entre les composants du sol. En revanche, la cohésion c' se réfère au rapport de la résistance au cisaillement résultant des efforts de liaison internes entre les composants du sol, quelle que soit la contrainte appliquée. Ces deux paramètres jouent un rôle central dans la détermination de la résistance au cisaillement d’un sol dans diverses conditions de charge. La densité brute du sol à côté du radier est noté γ_1d, et sous le radier par γ_2d.

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

Le facteur N_q considère la capacité portante due au poids propre du sol.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

Le facteur N_c prend en compte la capacité portante due à la cohésion du sol.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ'_d ) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 mit δ ≥ φ'_d/2 (base rugueuse)

Le facteur N_γ considère la capacité portante due à la résistance au cisaillement du sol.

Inclinaison de la base de fondation

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

Dans cet exemple, l’inclinaison de la base de fondation α = 0° et n’a donc aucune influence sur la capacité portante.

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

Les formules pour les autres sections sont disponibles dans l’Eurocode 1997-1, D.4.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Coefficients d'inclinaison

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω)
= 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m
= (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d))
= 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1
= (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

Le coefficient d’inclinaison dépend de l’angle ω.

Capacité portante

Influence de la profondeur de fondation (sol adjacent à la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influence de la largeur de la fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² avec γ'_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Ratio de vérification

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Méthode 1 (combinaison 1-2) selon l’EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Calcul de la résistance à la rupture du sol

Excentrement e_x de la charge verticale efficace en direction x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

Longueur efficace : L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Aire efficace : A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Paramètre de cisaillement pour la cohésion : c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Densité brute : γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56 °) = 11,59 avec δ ≥ φ'_d/2 (base rugueuse)

Inclinaison de la base de fondation

b_q = b_c = b_γ = 1 car α = 0°

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Coefficients d'inclinaison

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

Capacité portante

Influence de la profondeur de fondation (sol adjacent à la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Influence de la largeur de la fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² avec γ'_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Ratio de vérification

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Approche de calcul 1

η = max (η₁ ; η₂ ) = max (0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Approche 2 selon l'EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Dans cette approche de calcul, un ensemble de facteurs partiels de sécurité A1, M1 et R2 est utilisé, avec A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) augmentant les actions défavorables sur la fondation, et M1 (γ'_φ = γ '_c = γ_γ = 1,00) ne réduisant pas les paramètres du sol, mais avec R2 (γ_{R; v} = γ_{R; h} = 1,40) réduisant les résistances.

Calcul de la résistance du sol

Excentrement e_x de la charge verticale efficace en direction x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1 156,25 kN + 1,50 ⋅ 1 000 kN = 3 060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1 425 kNm

e_x = -1 425 kNm/3 060,94 kN = -0,466 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

Longueur efficace : L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Aire efficace : A' = 2 500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ'_d = 32 °

Paramètre de cisaillement pour la cohésion : c'_d = 15 kN/m²

Densité brute : γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32°/2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot (32 °) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 avec δ ≥ φ'_d/2 (base rugueuse)

Inclinaison de la base de fondation

b_q = b_c = b_γ = 1 car α = 0°

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

s_q = 1 + 1,569 m/2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1)/(23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m/2,500 m = 0,812

Coefficients d'inclinaison

m = 0 + (2 + 1,569 m/2,500 m)/(1 + 1,569 m/2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN/(3 060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858)/(23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN/(3 060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

capacité portante

Influence de la profondeur de fondation (sol adjacent à la fondation et charges additionnelles) :

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influence de la largeur de la fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² avec γ‘_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Méthode de calcul 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Méthode 2* selon l’EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Dans cette méthode de calcul, un ensemble de facteurs partiels de sécurité A1, M1 et R2 est utilisé. A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) augmente les actions défavorables sur la fondation, et M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) ne réduit pas les paramètres du sol, mais R2 (γ_{R; v} = γ_R;h = 1,40) réduit les résistances.

L’excentrement de la résultante et les facteurs d’inclinaison ne sont pas déterminés avec les valeurs de calcul des actions comme dans la méthode 2, mais avec des actions caractéristiques. Dans la plupart des cas, les excentrements sont plus petits et donc la surface efficace est plus grande, la pression de sol admissible est donc plus élevée que dans l'approche 2.

Calcul de la résistance du sol

Excentrement e_x de la charge verticale efficace en direction x

Contrairement aux autres approches, cette approche utilise les valeurs caractéristiques de la charge verticale avec des charges de fondation supplémentaires V_z,+add,k ainsi que la valeur caractéristique du moment fléchissant de calcul résultant au centre de la base de fondation M_{y,+add ,k} pour déterminer l'excentrement existant.

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 190 kN = 950 kNm

e_x = -950 kNm / 2156,25 kN = -0,441 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

Longueur efficace : L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 1,619 m

Aire efficace : A' = 2,500 m ⋅ 1,619 m = 4,047 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de friction : φ‘_d = 32°

Paramètre de cisaillement pour la cohésion : c‘_d = 15 kN/m²

Densité brute : γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 avec δ ≥ φ'_d/2 (base rugueuse)

Inclinaison de la base de fondation

b_q = b_c = b_γ = 1 car α = 0°

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

s_q = 1 + 1,619 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,343

s_c = (1,343 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,359

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,619 m / 2,500 m = 0,806

Coefficients d'inclinaison

m = (2 + 1,619 m / 2,500 m) / (1 + 1,619 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,607

i_q = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,607 = 0,868

i_c = 0,868 - (1 - 0,868) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,862

i_γ = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,607 + 1} = 0,795

Capacité portante

Influence de la profondeur de fondation (sol adjacent à la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,343 ⋅ 0,868 = 540,42 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,862 = 623,50 kN/m²

Influence de la largeur de la fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,619 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,806 ⋅ 0,795 = 287,33 kN/m² avec γ'_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = 540,42 kN/m² + 623,50 kN/m² + 287,33 kN/m² = 1451,25 kN/m²

σ_R,d = 1451,25 kN/m² / 1,40 =1036,61 kN/m²

Pression du sol existante :

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

σ_E,d = 3060,94 kN / 4,047 m² = 756,33 kN/m²

Méthode de calcul 2*

η = 756,33 kN/m² / 1036,61 kN/m² = 0,730 ≤ 1

Méthode 3 selon l’EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Dans cette approche de calcul, un ensemble de facteurs partiels de sécurité A1 et A2, M2 et R3 est utilisé. Pour les actions issues de la structure, les facteurs partiels de sécurité de l’ensemble de données A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,50) sont utilisés, tandis que les actions géométriques doivent être augmentées avec l’ensemble de données A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30). De plus, les propriétés du sol sont réduites de M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ =1,00). R3 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) ne réduit pas les résistances.

Calcul de la résistance à la rupture du sol

Excentrement e_x de la charge verticale efficace en direction x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

Longueur efficace : L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Aire efficace : A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de friction : φ'_d = arctan(tan(32°) / 1,25) = 26,56°

Paramètre de cisaillement pour la cohésion : c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Densité brute : γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 avec δ ≥ φ'_d/2 (base rugueuse)

Inclinaison de la base de fondation

b_q = b_c = b_γ = 1 car α = 0°

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,281

s_c = (1,281 ⋅ 12,59 - 1) / (12,59 - 1) = 1,305

s_γ = 1-0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Coefficients d'inclinaison

m = (2 + 1,569 m / 2,500 m)/ (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (12,59 ⋅ tan(26,56°) ) = 0,846

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,614 + 1} = 0,781

Capacité portante

Influence de la profondeur de fondation (sol adjacent à la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,281 ⋅ 0,858 = 276,70 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,305 ⋅ 0,846 = 307,07 kN/m²

Influence de la largeur de la fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 115,19 kN/m² mit γ'_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = σ_R,d = 276,70 kN/m² + 307,07 kN/m² + 115,19 kN/m² = 698,95 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Méthode de calcul 3

η = 780,40 kN/m² / 698,95 kN/m² = 1,117 ≥ 1

Comparaison des vérifications

Les différences dans le processus de calcul des approches 1 (combinaison 1-1), 1 (combinaison 1-2), 2, 2 * et 3 se rapportent principalement aux facteurs partiels de sécurité. Le tableau suivant montre clairement les effets des différents concepts de sécurité.

	Symbole	Unité	Méthode
			1-1	1-2	2	2*	3
Facteurs partiels de sécurité (actions A)	A	[−]	1	2	1	1	1 (2) 1)
	γG	[−]	1,35	1,00	1,35	1,35	1,35 (1,00)
	γQ	[−]	1,50	1,30	1,50	1,50	1,50 (1,30)
Charge verticale en z	VG,z+add,k	kN	1156,25
	VQ,z	kN	1000
	∑Vz+add,k	kN	2156,25
	Vz+add,d	kN	3060,94	2456,25	3060,94	3060,94	3060,94
Charge horizontale en x	HQ,x,k	kN	190
	HQ,x,d	kN	285	247	285	285	285
Charges pour le calcul des résistances	Vz	kN	3060,94	2456,25	3060,94	2156,25 2)	3060,94
	Hx	kN	285	247	285	190 2)	285
Moment de calcul dans le radier	My,x+add	kNm	1425	1235	1425	950	1425
Excentrement en x	ex	m	-0,466	-0,503	-0,466	-0,441	-0,466
Longueur efficace	L'	m	2,500
Largeur efficace	B'	m	1,569	1,494	1,569	1,619	1,569
Aire efficace	A'	m²	3,922	3,736	3,922	4,047	3,922
Facteurs partiels de sécurité (matériau M)	M	[−]	1	2	1	1	2
	γ‘φ	[−]	1,00	1,25	1,00	1,00	1,25
	γ‘c	[−]	1,00	1,25	1,00	1,00	1,25
	γγ	[−]	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
Angle de friction	φ'k	°	32
	φ'd	°	32	26,56	32	32	26,56
Cohésion	c’k	kN/m²	15
	c'd	kN/m²	15	12	15	15	12
Densité brute	γ1,k= γ2,k	kN/m³	20
	γ1,d= γ2,d	kN/m³	20
Facteur de résistance	Nq	[−]	23,18	12,59	23,18	23,18	12,59
	Nc	[−]	35,49	23,18	35,49	35,49	23,18
	Nγ	[−]	27,72	11,59	27,72	27,72	11,59
Coefficient de forme pour les sections rectangulaires	sq	[−]	1,333	1,267	1,333	1,343	1,281
	sc	[−]	1,348	1,290	1,348	1,359	1,305
	sγ	[−]	0,812	0,821	0,812	0,806	0,812
	m	[−]	1,614	1,626	1,614	1,607	1,614
Coefficients d'inclinaison	iq	[−]	0,858	0,847	0,858	0,868	0,858
	ic	[−]	0,852	0,834	0,852	0,862	0,846
	iγ	[−]	0,781	0,765	0,781	0,795	0,781
Hauteur de la fondation de contrainte	σR,q	kN/m²	530,14	270,26	530,14	540,42	276,70
Cohésion de contrainte	σR,c	kN/m²	611,11	299,31	611,11	623,50	307,07
Hauteur de la fondation de contrainte	σR,γ	kN/m²	275,57	108,68	275,57	287,33	115,19
Facteurs partiels de sécurité (Résistance R)	R	[−]	1	1	2	2	3
	γR;v	[−]	1,00	1,00	1,40	1,40	1,00
Pression du sol admissible	σR,k	kN/m²	1416,83	678,25	1416,25	1451,25	698,95
	σR,d	kN/m²	1416,83	678,25	1012,02	1036,61	698,95
Pression du sol existante	σE,d	kN/m²	780,40	657,45	780,40	756,33	780,40
Ratio de vérification	η	[−]	0,551	0,969	0,771	0,730	1,117
			0,969
1) Dans le cas d’actions issues de la structure porteuse, les facteurs partiels de sécurité de l’ensemble de données A1 sont utilisés, tandis que les actions géométriques doivent être augmentées avec l’ensemble de données A2.
2) Les actions caractéristiques sont utilisées pour déterminer la résistance avec la méthode 2*.

Conclusion

Les méthodes de l’EN 1997-1 offrent différents niveaux de sécurité et d’efficacité économique.

La méthode 1 se caractérise par le fait qu’elle nécessite deux combinaisons avec des concepts de sécurité différents. Cela permet d’avoir une vue différenciée des exigences de sécurité et de garantir que la combinaison avec le ratio de vérification le plus élevé est déterminante. La combinaison 1-1 augmente les actions sur la fondation, tandis que la combinaison 1-2 réduit les propriétés de matériau.

Les méthodes 2 et 2* simplifient la vérification par rapport à la méthode 1, car chacune utilise un seul ensemble de données. Cet ensemble de données augmente les actions et réduit les résistances sans réduire les paramètres du sol. La position (excentrement) et l’inclinaison de charge de la résultante sont des valeurs d’entrée importantes lors du calcul de la capacité portante du sol. La méthode 2 utilise les valeurs de calcul pour cela, tandis que l’approche 2* fonctionne avec les actions caractéristiques, ce qui conduit à une plus grande résistance à la rupture du sol avec l’approche 2*.

La méthode 3 conduit généralement à des résultats particulièrement conservateurs, car l’ensemble de données des facteurs partiels de sécurité utilisés ici augmente les actions et réduit les paramètres du sol, sans réduire les résistances. Cette méthode offre généralement le niveau de sécurité le plus élevé.