Berechnung der Lagerkräfte
Zunächst muss klar sein, wie ein Linienlager zu seinem Ergebnis kommt. Ein Linienlager wird intern zu Knotenlagern an jedem Netzpunkt aufgeteilt. Anschließend wird für jedes Knotenlager eine Lagerkraft ermittelt. Mithilfe von gewissen Glättungsoptionen, die den Einfluss von benachbarten Lagern berücksichtigen, wird der lineare Verlauf zwischen den einzelnen (Knoten-)Lagerpunkten erstellt. Dieses Ergebnis entspricht dem tatsächlichen Verlauf.
Nimmt man als einfaches Beispiel eine quadratische, zweiseitig gelagerte Platte mit konstanter Beanspruchung, so stellt man schon dort fest, dass die Anzahl der finiten Elemente sowie auch die verwendete Steifigkeit der Platte (Dicke, Querdehnzahl, isotrop oder orthotrop) und die Steifigkeit des Lagers eine große Rolle spielen.
Beispiel 1: konstante Flächenlast
Eine 20 cm starke Platte mit den Abmessungen 2 · 2 m und einer FE-Netzweite von 40 cm wird durch eine Flächenlast mit 3 kN/m² belastet. Die Querdehnzahl wurde mit 0 angenommen. Das Modell wurde ein zweites Mal mit Knotenlagern eingegeben.
Mit den ermittelten Knotenlager-Reaktionen, der Einflussbreite und der Glättungsoption wird der Verlauf der Linienlagerkräfte ermittelt. An den Randpunkten entspricht die Einflussbreite 20 cm (= halbe FE-Netzweite) und innen 40 cm (= ganze FE-Netzweite).
K1 = 0,488678 → L1 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
K2 = 1,325770 → L2 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K3 = 1,185550 → L3 = (1,185550 · 2 + 1,325770 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K4 = 1,185550 → L4 = (1,185550 · 2 + 1,185550 + 1,325770) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K5 = 1,325770 → L5 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K6 = 0,488678 → L6 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
Beispiel 2: zusätzliches Knotenlager
Wie Beispiel 1, jedoch wird ein zusätzliches Knotenlager am Anfang des Linienlagers eingefügt. Vor der Berechnung wird eine entsprechende Warnmeldung ausgegeben. Bis auf den zusätzlich gelagerten Knoten ergeben sich keine Unterschiede. Da als Gesamtlast am Knoten 1 der Wert aus obigem Beispiel herauskommen muss und beide Lager dieselbe Steifigkeit haben, ergibt sich sowohl für das Knotenlager als auch für die Anfangsordinate des Linienlagers folgender Wert.
K1 = L1
K1 + 0,2 · K1 = 0,751475 → K1 = 0,488678 / 1,2 = 0,4072317 kN bzw. kN/m
Beispiel 3: zwei unterschiedliche Blocklasten
K1 = 1,008900 → L1 = 1,008900 / 0,2 = 5,044500 kN/m
K2 = 1,891280 → L2 = (1,891280 · 3 + 1,326110) / 4 / 0,4 = 4,374969 kN/m
K3 = 1,326110 → L3 = (1,326110 · 2 + 1,891280 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 3,464956 kN/m
K4 = 1,000430 → L4 = (1,000430 · 2 + 1,326110 + 1,011220) / 4 / 0,4 = 2,711369 kN/m
K5 = 1,011220 → L5 = (1,011220 · 3 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 2,521306 kN/m
K6 = 0,162069 → L6 = 0,162069 / 0,2 = 0,810345 kN/m
Beispiel 4: Lineare Glättung am Beispiel 3
Das Programm muss dabei ein Trapez ermitteln, das dasselbe Integral und dieselbe Schwerpunktkoordinaten aufweist wie der angezeigte Polygonzug. Für die Flächenermittlung (entspricht Belastungssumme) spielt es weniger eine Rolle, wie grob das FE-Netz ist, sehr wohl aber für die Ermittlung der Schwerpunktkoordinaten. Zudem muss die Neigung des geglätteten Verlaufes den Ordinaten des tatsächlichen Verlaufes folgen. Es ist quasi wie die lineare Trendlinienberechnung in Excel. Zunächst werden die Integrale der einzelnen Teilbereiche ermittelt.
A1 = (5,044500 + 4,374969) / 2 · 0,4 = 1,8838938 kN
A2 = (4,374969 + 3,464956) / 2 · 0,4 = 1,5679850 kN
A3 = (3,464956 + 2,711369) / 2 · 0,4 = 1,2352650 kN
A4 = (2,711369 + 2,521306) / 2 · 0,4 = 1,0465350 kN
A5 = (2,521306 + 0,810345) / 2 · 0,4 = 0,6663302 kN
Summe Lagerkräfte der Linie = 6,400009 kN
Die lokalen Schwerpunkte der einzelnen Teilbereiche betragen:
xs1 = 0,4 / 3 · ((5,044500 + 2 · 4,374969) / (5,044500 + 4,374969)) = 0,195261366 m
xs2 = 0,4 / 3 · ((4,374969 + 2 · 3,464956) / (4,374969 + 3,464956)) = 0,192261724 m
xs3 = 0,4 / 3 · ((3,464956 + 2 · 2,711369) / (3,464956 + 2,711369)) = 0,191865848 m
xs4 = 0,4 / 3 · ((2,711369 + 2 · 2,521306) / (2,711369 + 2,521306)) = 0,197578517 m
xs5 = 0,4 / 3 · ((2,521306 + 2 · 0,810345) / (2,521306 + 0,810345)) = 0,165763498 m
Anschließend wird der globale Schwerpunkt ermittelt, indem die Teilintegrale mit dem globalen Schwerpunkt zum Linienanfang multipliziert und durch die Gesamtlast dividiert werden.
(A1 · xs1 + A2 · (xs2 + 0,4) + A3 · (xs3 + 2 · 0,4) + A4 · (xs4 + 3 · 0,4) + A5 · (xs5 + 4 · 0,4)) / 6,400009 = 0,806393054 m
Nun müssen nur noch die beiden Kantenlängen der trapezförmigen Fläche ermittelt werden, die dieselbe Schwerpunktlage aufweisen. Dies geschieht über die Umstellung der Schwerpunkt- und über die Gesamtlagerkraftberechnung.
b = (0,806393054 · 3 / 2 - 1) / (2 - 0,806393054 · 3 / 2) = 0,265165508 a
a = (6,400009 · 2 / 2) / (1 + 0,265165508) = 5,05863 kN/m → b = 1,34137
Hinweis
Die gezeigten Beispiele wurden mit einem groben FE-Netz berechnet, damit die Vorgehensweise exemplarisch dargestellt werden kann. Mit der Option "Ergebnisverläufe" aus dem Kontextmenü des Linienlagers wird in das geöffnete Dialogfenster nur der lineare Verlauf mit seinen Ordinaten an den Lagerpunkten (ohne die Informationen im Infofenster) weitergegeben. Die lineare Glättung im Dialogfenster weist daher eine etwas andere lineare Glättung als direkt im Arbeitsfenster aus. Verringert sich nun die FE-Netzgröße immer weiter, sodass sich der polygonartige Verlauf immer mehr einem kurvenförmigen Verlauf anpasst, so werden bei der Integration der Fläche und bei der Schwerpunktermittlung immer kleinere Fehler gemacht.
