obliczanie reakcji podporowych
Po pierwsze, musi być jasne, w jaki sposób określany jest wynik reakcji dla podpory liniowej. Podpora liniowa w każdym punkcie siatki jest wewnętrznie podzielona na podpory węzłowe. Następnie dla każdej podpory węzłowej jest określana siła podporowa. Za pomocą określonych opcji uśredniania, uwzględniających wpływ sąsiednich podpór, tworzony jest rozkład liniowy pomiędzy poszczególnymi (węzłowymi) punktami podparcia. Wynik ten odpowiada rzeczywistemu rozkładowi.
Jeżeli, jako przykład zastosujemy kwadratową płytę z obciążeniem równomiernym i podpartą na dwóch krawędziach, można zauważyć, że liczba elementów skończonych oraz zastosowana sztywność płyty (grubość, współczynnik Poissona, model materiałowy izotropowy lub ortotropowy) oraz sztywność podpory odgrywa istotną rolę.
Przykład 1: Stałe obciążenie powierzchniowe
Płyta o grubości 20 cm i wymiarach 2 x 2 m przy oczku siatki o szerokości 40 cm jest obciążona obciążeniem powierzchniowym 3 kN/m². Współczynnik Poissona przyjęto jako 0. Model został wprowadzony po raz drugi z podporami węzłowymi.
Rozkład liniowych sił podporowych jest określany na podstawie wyliczonych reakcji węzłowych podpór, szerokości efektywnej oraz opcji uśredniania. W punktach krawędziowych szerokość efektywna wynosi 20 cm (= połowa szerokości oczka siatki ES), a wewnątrz 40 cm (= cała szerokość oczka siatki ES).
K1 = 0,488678 → L1 = 0,488678/0,2 = 2,44339 kN/m
K2 = 1.325770 → L2 = (1.325770 · 3 + 1.185550)/4/0,4 = 3.2267875 kN/m
K3 = 1.185550 → L3 = (1.185550 · 2 + 1.325770 + 1.185550)/4/0,4 = 3.0515125 kN/m
K4 = 1.185550 → L4 = (1.185550 · 2 + 1.185550 + 1.325770)/4/0,4 = 3.0515125 kN/m
K5 = 1.325770 → L5 = (1.325770 · 3 + 1.185550)/4/0,4 = 3.2267875 kN/m
K6 = 0,488678 → L6 = 0,488678/0,2 = 2,44339 kN/m
Przykład 2: Dodatkowa podpora węzłowa
Konstrukcja jak w przykładzie 1, z tym, że na początku podpory liniowej zostaje wstawiony dodatkowa podpora węzłowa. Przed obliczeniami wyświetlany jest odpowiedni komunikat ostrzegawczy. Oprócz dodatkowo obsługiwanego węzła, nie ma innych różnic. Ponieważ całkowite obciążenie w węźle 1 musi być wartością z powyższego przykładu, a obie podpory mają tę samą sztywność, wynikiem jest następująca wartość zarówno w podporze węzłowej, jak i w początkowej współrzędnej podpory liniowej.
K1 = L1
K1 + 0,2 · K1 = 0,751475 → K1 = 0,488678/1,2 = 0,4072317 kN i kN/m
Przykład 3 Dwa różne obciążenia blokowe
K1 = 1,008900 → L1 = 1,008900/0,2 = 5,044500 kN/m
K2 = 1,891280 → L2 = (1,891280 · 3 + 1.326110)/4/0,4 = 4,374969 kN/m
K3 = 1,326110 → L3 = (1.326110 · 2 + 1.891280 + 1.000430)/4/0,4 = 3,464956 kN/m
K4 = 1.000430 → L4 = (1.000430 · 2 + 1.326110 + 1.011220)/4/0,4 = 2,711369 kN/m
K5 = 1.011220 → L5 = (1.011220 · 3 + 1.000430)/4/0,4 = 2,521306 kN/m
K6 = 0,162069 → L6 = 0,162069/0,2 = 0,810345 kN/m
Przykład 4 Uśrednianie liniowe w konstrukcji z przykładu 3
Program musi wyznaczyć trapez, który ma takie same pole powierzchni i takie same współrzędne środka ciężkości, jak wyświetlany wielokąt. Przy określaniu powierzchni (odpowiada sumie obciążenia) nie ma znaczenia, jak duże jest oczko siatka ES, ale ma to znaczenie dla określenia współrzędnych środka ciężkości. Ponadto nachylenie uśrednionego gradientu musi być zbieżne z rzędnymi rzeczywistego gradientu. Cała procedura jest podobna do wyznaczania trendu liniowego w Excel. Najpierw określane są całki poszczególnych powierzchni cząstkowych.
A1 = (5,044500 + 4,374969)/2 · 0,4 = 1,8838938 kN
A2 = (4,374969 + 3,464956)/2 · 0,4 = 1,5679850 kN
A3 = (3,464956 + 2,711369)/2 · 0,4 = 1,2352650 kN
A4 = (2,711369 + 2,521306)/2 · 0,4 = 1,0465350 kN
A5 = (2,521306 + 0,810345)/2 · 0,4 = 0,6663302 kN
Suma sił podporowych linii = 6.400009 kN
Lokalne środki ciężkości poszczególnych powierzchni składowych są następujące:
xs1 = 0,4/3 · ((5,044500 + 2 · 4,374969)/(5,044500 + 4,374969)) = 0,195261366 m
xs2 = 0,4/3 · ((4,374969 + 2 · 3,464956)/(4,374969 + 3,464956)) = 0,192261724 m
xs3 = 0,4/3 · ((3,464956 + 2 · 2,711369)/(3,464956 + 2,711369)) = 0,191865848 m
xs4 = 0,4/3 · ((2,711369 + 2 · 2,521306)/(2,711369 + 2,521306)) = 0,197578517 m
xs5 = 0,4/3 · (((2,521306 + 2 · 0,810345)/(2,521306 + 0,810345)) = 0,165763498 m
Następnie wyznaczany jest globalny środek ciężkości poprzez pomnożenie całek częściowych przez globalny środek ciężkości na początku linii i podzielenie przez całkowite obciążenie.
(A1 · xs1 + A2 · (xs2 + 0,4) + A3 · (xs3 + 2 · 0,4) + A4 · (xs4 + 3 · 0,4) + A5 · (xs5 + 4 · 0,4))/6,400009 = 0,806393054 m
Teraz musimy tylko określić dwie długości krawędzi powierzchni trapezowej, dla których uzyskamy to samo położenie środka ciężkości. W tym celu należy przekształcić wzór środka ciężkości i wzór całkowitej siły podporowej.
b = (0,806393054 · 3/2 - 1)/(2 - 0,806393054 · 3/2) = 0,265165508
a = (6,400009 · 2/2)/(1 + 0,265165508) = 5,05863 kN/m → b = 1,34137
Jeszcze jedna uwaga
Przykłady przedstawione w tym artykule zostały obliczone dla siatki ES o dużych rozmiarach, dzięki czemu można lepiej zilustrować procedurę obliczeniową. Po wybraniu opcji "Wykresy wyników" z menu kontekstowego podpory liniowej, w nowo otwartym oknie dialogowym zostaje przedstawiony tylko wykres liniowy wraz z rzędnymi w punktach podparcia (bez informacji w oknie informacyjnym). Z tego względu uśrednienie liniowe w tym oknie dialogowym jest nieco inne niż bezpośrednio w oknie roboczym. Jeżeli rozmiar siatki ES będzie coraz mniejszy, tak że rozkład wielokątny będzie coraz bardziej odpowiadał rozkładowi krzywoliniowemu, wówczas błędy powstające podczas integracji powierzchni i określania środka ciężkości są coraz mniejsze.
