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2024-04-29

VE0127 | Modelo de material Kelvin-Voigt

Descripción del trabajo

El modelo de material de Kelvin-Voigt consiste en el muelle lineal y el amortiguador viscoso conectados en paralelo. En este ejemplo de verificación, se prueba el comportamiento temporal de este modelo durante la carga y relajación en un intervalo de tiempo de 24 horas. La fuerza constante F_x se aplica durante 12 horas y el resto de 12 horas es el modelo de material libre de carga (relajación). Se evalúa la deformación después de 12 y 20 horas. Se utiliza el análisis en el dominio del tiempo con el método lineal implícito de Newmark.

Propiedades del sistema	Muelle	Rigidez	k	100,000	kN/m
Propiedades del sistema	Amortiguador	Amortiguamiento viscoso	c	1000000,000	kNs/m
Carga		fuerza	F_x	1,000	kN

Modelo de material Kelvin-Voigt

Solución analítica

El modelo de material de Kelvin-Voigt es una conexión paralela del muelle y el amortiguador. La deformación en el muelle_εe y la deformación en el amortiguador_εv son iguales (_εe =_εv =ε). La tensión total de este modelo se define como la suma de la tensión en el muelle y el amortiguador (σ=_σe +_σv ). Usando ecuaciones constitutivas, la ecuación diferencial para la deformación debida a la tensión aplicada σ_x es la siguiente:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Módulo de elasticidad
t	Horario
eta	Viscosidad dinámica

Ecuación diferencial de deformaciones para el modelo de material de Kelvin-Voigt

Esta ecuación diferencial se puede resolver para obtener la deformación del modelo de material de Kelvin-Voigt en un tiempo específico.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Constante de integración

Solución general de la ecuación diferencial de la deformación

C es la constante de integración basada en las condiciones iniciales. Para la deformación nula al inicio de la carga (ε(0)=0), la deformación es la siguiente:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Deformación del modelo de material de Kelvin-Voigt (condición inicial de deformación cero)

Esta fórmula se puede reescribir en la forma usando la fuerza, la deformación, la rigidez y el amortiguamiento.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Deformación del modelo de material de Kelvin-Voigt (condición inicial de deformación cero)

La deformación después de la relajación se puede calcular por medio de un proceso similar con una condición inicial diferente:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

u_x1	Deformación al final de la carga (tiempo t₁ ) - deformación inicial para la relajación

Deformación del modelo de material de Kelvin-Voigt (relajación)

Los resultados se resumen en la siguiente tabla.

Configuración de RFEM y RSTAB

Modelado en RFEM 6.05
Se utiliza el análisis en el dominio del tiempo con el diagrama de tiempos
Se utiliza el método lineal implícito de Newmark

Resultados

Cantidad	Solución cualquierlítica	RFEM 6	Razón
ux (t₌ 12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
ux (t₌ 20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

El comportamiento temporal de la deformación_ux se puede ver en la siguiente figura.

Resultados de RFEM 6 - Comportamiento temporal de la deformaciónux

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