Jumeau numérique du pont de Kalix – charges structurelles résultant d'événements climatiques extrêmes futurs

par Mathyar Kazemian, Sajad Nikdel, Mehrnaz Mohammad Esmaeili, Vahid Nik, Kamyab Zadi

ABSTRACT

Environmental loads, such as wind and river flow, play an essential role in the structural design and structural assessment of long-span bridges. Le changement climatique et les événements climatiques extrêmes menacent la fiabilité et la sécurité du réseau de transport.

Cela a conduit à une demande croissante de modèles de jumeaux numériques pour étudier la résilience des ponts dans des conditions climatiques extrêmes. Le pont de Kalix, construit en 1956 sur le fleuve Kalixälven en Suède, est utilisé comme banc d'essai dans ce contexte.

La structure du pont, en béton précontraint, se compose de cinq travées, la plus longue mesurant 94 m. Dans cette étude, les caractéristiques aérodynamiques et les valeurs extrêmes de la simulation numérique des flux de vent, telles que la pression de surface, sont obtenues à l'aide de la méthode de simulation de turbulences RANS-LES (Delayed Detached Eddy Simulation) de Spalart-Allmaras. Cette méthode est à la fois pratique et efficace pour le calcul avec la densité de maillage imposée par la méthode LES.

La pression du vent en surface est obtenue pour trois scénarios climatiques extrêmes, y compris un temps extrêmement venteux, un temps extrêmement froid et la valeur de calcul pour une période de retour de 3 000 ans. Le résultat indique des différences significatives dans la pression du vent en surface dues aux couches temporelles provenant de la simulation des flux de vent transitoires. Afin d'évaluer les performances de la structure dans le scénario de vent critique, la valeur la plus élevée de la pression de surface pour chaque scénario est considérée.

Une étude hydrodynamique est également menée sur les piliers du pont, dans laquelle le débit du fleuve est simulé à l'aide de la méthode VOF, et le processus de mouvement de l'eau autour des piliers est examiné de manière transitoire et à différents moments. La pression de surface appliquée par le débit du fleuve avec le débit volumétrique enregistré le plus élevé est calculée sur chacune des surfaces de la jetée.

Pour simuler le flux d'un fleuve, les informations et les conditions météorologiques enregistrées au cours des périodes précédentes ont été utilisées. Les résultats montrent que la pression de surface au moment où le flux du fleuve atteint les piliers est beaucoup plus élevée qu'au cours des périodes suivantes. Cette pression peut être utilisée comme charge critique dans les calculs d'interaction fluide-structure (FSI).

Enfin, pour les deux sections, la pression de la charge de vent à la surface, le champ de vitesse par rapport aux lignes de sonde auxiliaires, les contours du mouvement circonférentiel de l'eau autour des piliers et le diagramme des pressions sont indiqués à différents pas de temps.

1. Introduction

Les infrastructures de transport sont l'épine dorsale de notre société et les ponts sont le goulot d'étranglement du réseau de transport [1]. De plus, le changement climatique, qui entraîne des taux de détérioration plus élevés et les événements climatiques extrêmes représentent une menace importante pour la fiabilité et la sécurité des réseaux de transport. Au cours de la dernière décennie, de nombreux ponts ont été endommagés, voire détruits, par des conditions météorologiques extrêmes telles que des typhons et des inondations.

Wang et al. ont analysé les impacts du changement climatique et ont montré que la détérioration des ponts en béton devrait s'aggraver encore plus qu'aujourd'hui, et que les événements climatiques extrêmes devraient être plus fréquents et plus sévères [2].

En outre, la demande de capacité de charge augmente souvent avec le temps, par exemple en raison de l'utilisation de camions plus lourds pour le transport du bois en Europe du Nord et en Amérique du Nord. Ainsi, il existe un besoin croissant de méthodes fiables pour évaluer la résilience structurelle du réseau de transport dans des conditions climatiques extrêmes tenant compte des scénarios de changement climatique futurs.

Les infrastructures de transport routier sont conçues, construites et exploitées en s'appuyant sur de nombreuses sources de données et différents modèles. Par conséquent, les ingénieurs de conception utilisent des modèles établis fournis par les normes ; les ingénieurs du bâtiment
documentent les données sur le matériau réel et fournissent des dessins conformes à l'exécution ; les exploitants collectent des données sur le trafic, effectuent des inspections et planifient la maintenance ; les climatologues combinent les données et les modèles climatiques pour
prévoir les événements climatiques futurs et les ingénieurs d'évaluation calculent l'impact des charges climatiques extrêmes sur la structure.

Compte tenu du nombre considérable de sources et de la complexité des données et des modèles, les informations les plus récentes et les calculs mis à jour peuvent ne pas être facilement disponibles pour des décisions cruciales, par exemple, concernant la sécurité structurelle et l'exploitation des infrastructures pendant les épisodes d'événements extrêmes. Le manque d'intégration transparente entre les données d'infrastructure, les modèles structurels et la prise de décision au niveau du système est une limitation majeure des solutions actuelles, ce qui conduit à l'inadaptabilité et aux incertitudes et crée des coûts et des inefficacités.

Le jumeau numérique structurel de l'infrastructure est une simulation structurelle vivante qui rassemble toutes les données et tous les modèles et se met à jour à partir de plusieurs sources pour représenter son équivalent physique. Le jumeau numérique structurel, maintenu tout au long du cycle de vie d'un actif et facilement accessible à tout moment, permet au propriétaire/utilisateur de l'infrastructure d'avoir un aperçu précoce des risques potentiels pour la mobilité induits par les événements climatiques, les charges de véhicules lourds ou encore le vieillissement d'un infrastructures de transport.

Dans le cadre d'un projet en cours, nous développons et implémentons un jumeau numérique structurel pour le pont de Kalix en Suède. L'objectif principal de cet article est de présenter une méthode et d'étudier les résultats de la quantification des charges structurelles résultant d'événements climatiques extrêmes sur la base de scénarios climatiques futurs pour le pont de Kalix. Le pont de Kalix, construit en 1956 sur le fleuve Kalixälven en Suède, est composé d'une poutre-caisson en béton précontraint. Le pont sert de banc d'essai pour la démonstration des méthodes les plus récentes d'évaluation et de contrôle de santé intégré (CSI).

L'objectif spécifique de la recherche actuelle est de prendre en compte les paramètres climatiques tels que le vent et le débit d'eau, imposant des charges statiques et dynamiques sur les structures. Notre méthode, dans un premier temps, consiste en des simulations d'écoulement de vent et d'écoulement d'eau à l'aide d'une modélisation CFD transitoire basée sur le modèle de turbulence LES/DES pour quantifier les charges de vent et hydrauliques ; cela constitue le point central de cet article.

Dans l'étape suivante, la réponse structurelle du pont sera étudiée en transformant les profils de charge de vent et hydraulique en charges structurelles dans l'analyse de structure non linéaire EF. Enfin, le modèle structurel sera mis à jour en incorporant de manière transparente les données du CSI et en créant ainsi un jumeau numérique structurel reflétant la réponse réelle de la structure. Les deux premiers axes de recherche n'entrent pas dans le cadre du présent article.

2. Kalix Bridge Description

Le pont de Kalix se compose de 5 travées longues. La plus longue mesure environ 94 mètres et la plus courte 43,85 m. The bridge is made of post-tensioned concrete, which is cast in-situ segmentally and a non-prismatic box girder that is shown in Image 1. La géométrie du pont est symétrique et une articulation se trouve au milieu de celui-ci. La largeur du tablier du pont au niveau des dalles supérieure et inférieure est d'environ 13 m et 7,5 m, respectivement. L'épaisseur du mur est de 45 cm, et l'épaisseur de la dalle inférieure varie de 20 cm à
50 cm.

3 Simulation des flux de vent

Les essais en soufflerie étaient auparavant le seul moyen d'examiner la réaction des ponts aux charges de vent [3] ; ces expériences sont cependant longues et coûteuses. Il faut environ 6 à 8 semaines pour effectuer un essai type en soufflerie [4]. Les dernières avancées en matière de capacité de calcul des ordinateurs offrent des possibilités de simulation pratique du vent autour des ponts à l'aide de la mécanique des fluides numérique (CFD).

Il est avantageux d'étudier la pression du vent sur les composants d'un pont à l'aide d'une simulation sur ordinateur. Les paramètres de simulation du pont et du champ de vent qui l'entoure doivent être déterminés ; par conséquent, leurs impacts sur les efforts appliqués sur le pont peuvent être évalués avec précision.

Les exigences de calcul des structures de pont nécessitent une étude approfondie de l'action du vent, en particulier dans des conditions météorologiques extrêmes. Garantir la stabilité des ponts à longue portée, étant donné que leurs caractéristiques et formations sont les plus sujettes aux charges de vent, fait partie des principales considérations de calcul [3].

3.1. Paramètres de simulation

The basic wind speed is chosen 22 m/s based on the wind map of Sweden and the location of Kalix bridge according to EN 1991-1-4 [5], and the Swedish code BFS 2019:1 EKS 11; see Image 1. La surface libre au-dessus de l'eau est considérée comme une surface exposée à la charge de vent. La direction de charge de vent dominante est considérée comme perpendiculaire au tablier du pont.

Les simulations actuelles sont basées sur trois scénarios, dont : vent extrême, froid extrême et valeur de calcul pour une période de retour de 3 000 ans. Chaque condition a des valeurs différentes de température, vitesse de référence
du vent, viscosité cinématique et densité de l'air, comme indiqué dans le tableau 1. Les ensembles de données météorologiques ont été synthétisés pour deux semaines de conditions météorologiques extrêmes au cours de la période de 30 ans 2040-2069, en considérant 13 scénarios climatiques futurs différents avec différents modèles climatiques mondiaux (GCM) et différentes trajectoires représentatives de concentration (RCP).

Une semaine de froid extrême et une semaine de vent extrême ont été sélectionnées à l'aide de l'approche développée
par Nik [7]. L'approche a été adaptée aux besoins de ce travail en considérant l'échelle de temps hebdomadaire au lieu d'une échelle de temps mensuelle. L'application de cette approche a été vérifiée pour des simulations complexes, y compris les systèmes énergétiques [7] [8], hydrothermaux [ 9] et des simulations de microclimat [10].

Pour considérer les conditions météorologiques extrêmes d'infrastructures très importantes, la valeur de la vitesse de base du vent doit être transférée d'une période de retour de 50 ans à 3 000 ans, comme indiqué dans l'équation 1 [6]. Le profil de vitesse et de turbulence est créé sur la base de l'EN 1991-1-4 [5] pour la catégorie de terrain 0 (Z₀ = 0,003 m et Z_min = 1 m), où Z₀ et Z_min sont respectivement la longueur de rugosité et la hauteur minimale.. La variation de la vitesse du vent avec la hauteur est définie dans l'équation 2, où c_o(z) est le facteur orographique pris comme 1, v_m (z) est la vitesse moyenne du vent à la hauteur z, k_r est le facteur de terrain dépendant de la longueur de rugosité , et I_v(z) est l'intensité de la turbulence ; voir l'équation 3.

The value of wind speed for T = 3000-year return period is calculated to be 31 m/s; thus, the wind speed and turbulence intensity diagrams are obtained as shown in Image 2.

3.2. Turbulence Model

Pour rendre les investigations précises sur l'écoulement autour des structures importantes telles que les ponts, une approche hybride incluant des simulations de tourbillonnement détaché retardé (DDES) est applicable et efficace en termes de calcul [11] [12]. Ce modèle de turbulence utilise une méthode RANS près des couches limites et la méthode LES loin des couches limites et dans la zone de séparation de l'écoulement.

Dans un premier temps, l'approche de simulation du tourbillon détaché a été étendue pour acquérir des prédictions de force fiables sur les modèles avec un grand impact de l'écoulement séparé. La section [11] de Spalart contient divers exemples de cas qui utilisent le modèle de turbulence de la simulation de tourbillons détachés (DES).

La formulation DES initiale [13] est développée en utilisant l'approche de Spalart-Allmaras. Concernant le passage de l'approche RANS à l'approche de simulation des grandes structures de la turbulence, le terme de destruction dans l'équation de viscosité-transport modifiée est révisé : la distance entre un point du domaine et la surface solide (d) la plus proche est remplacée par le facteur introduit par :

où C_DES est un coefficient, il est considéré comme égal à 0,65 et Δ est une échelle de longueur associée au pas de grille local :

Une approche modifiée de simulation des grandes structures de la turbulence, connue sous le nom de simulation différée des tourbillons détachés (DDES), a été utilisée pour résoudre le problème probable de la « séparation induite par la grille » (SIG) qui est liée à la géométrie de la grille. L'objectif de cette nouvelle approche est de confirmer que la modélisation de la turbulence reste en mode RANS dans toutes les couches limites [14]. La définition du paramètre est donc modifiée comme suit :

où f_d est une fonction de filtre pour laquelle une valeur de 0 est considérée dans les couches limites proches des parois (zone RANS) et une valeur de 1 dans les zones où la séparation des écoulements a eu lieu (zone LES).

3.3. Computational Grid and Results

RWIND 2.01 Pro est utilisé pour la simulation CFD du vent, qui utilise le code CFD externe OpenFOAM® version 17.10. La simulation CFD tridimensionnelle est effectuée en tant que simulation de vent transitoire pour un écoulement turbulent incompressible à l'aide de l'algorithme SIMPLE (méthode semi-implicite pour les équations liées à la pression).

Dans la simulation actuelle, le solveur de flux stationnaire est considéré comme la condition initiale, ce qui signifie que lorsque l'écoulement transitoire est calculé, le calcul de la condition initiale en flux stationnaire commence dans la première partie de la simulation, et dès qu'il est terminé, le calcul transitoire démarre automatiquement.

The computational grid is performed by a three-dimensional 8,057,279 cells and 8,820,901 nodes, also the wind tunnel domain dimensions are considered 2000 m * 1000 m * 100 m (length, width, height) as shown in Image 3. Le volume minimal de la cellule est de 6,34*10-5 m3, le volume maximal est de 812,30 m3 et l'asymétrie maximale est de 1,80.

La pression résiduelle finale est considérée comme étant 5*10-5. The process of mesh generation and grid independency has been carried out using four mesh sizes that are shown in Image 4 for the reference mesh, and finally, the grid independency has achieved.

Three simulations have been performed to obtain the wind pressure value for extreme weather conditions and design wind value that is shown in Image 5. Pour chaque scénario, le résultat de la pression du vent est obtenu en utilisant le modèle de turbulence transitoire DDES pour une durée de 30 (s) qui inclut 60 couches de temps (Δt=0,5 s).

On peut observer que la zone avant du pont est exposée à une pression de vent positive et que la pression augmente en fonction de la hauteur près du bord du tablier pour tous les scénarios. Also, Image 5. illustre les valeurs de pression négative du vent entièrement à la surface du pont. La valeur correspondant à la période de 3 000 ans est beaucoup plus élevée que les autres scénarios.

Il est important de noter que la plage de la vitesse du vent d'entrée a un impact important sur la valeur de la pression en surface plutôt que sur les autres paramètres. De plus, pour chaque scénario, la plage la plus élevée de pression et de succion du vent pendant la durée totale doit être considérée comme une charge de vent critique imposée à la structure. La valeur la plus faible de la pression surfacique est obtenue dans le scénario de froid extrême, tandis que dans les conditions de vent extrême, la valeur de la pression augmente d'un ordre de grandeur.

De plus, il est important de noter que les performances du pont seraient complètement différentes en raison des différentes températures de l'air, et qu'un cas critique peut survenir dans le cas où la pression est plus basse. En ce qui concerne la valeur d'entrée de chaque scénario, la plage de pression de vent la plus élevée appartient au niveau de calcul en raison de la période de retour de 3 000 ans, qui a reçu la vitesse du vent la plus élevée comme vitesse d'entrée.

4. Hydro Simulation

Les piliers de pont traversant le fleuve peuvent bloquer l'écoulement en réduisant la section du fleuve, en créant des courants de Foucault locaux et en modifiant la vitesse d'écoulement, ce qui peut exercer des pressions sur les surfaces des piliers. Lorsque le fleuve atteint les piliers du pont, le processus d'écoulement de l'eau autour de la base peut être divisé en deux parties : application d'une pression au moment où l'eau atteint le pilier du pont et après la pression initiale lorsque l'eau s'écoule autour des piliers [15].

Lorsque l'eau atteint les piliers du pont à une certaine vitesse, l'effet de la pression sur les piliers est beaucoup plus important que la pression du fluide restant autour d'eux. En raison des progrès de l'informatique et du développement croissant des codes de calcul de dynamique des fluides, diverses simulations numériques ont été largement utilisées et il a été prouvé que les résultats de nombreuses simulations sont cohérents avec les résultats expérimentaux [16].

En conséquence, dans cette recherche, la méthode de calcul de la dynamique des fluides a été utilisée pour simuler les phénomènes régissant le comportement de l'écoulement fluvial. Une solution tridimensionnelle basée sur des calculs numériques utilisant le modèle de simulation des grandes structures de la turbulence LES a été sélectionnée pour cette étude. La simulation tridimensionnelle du débit d'un fleuve dans différentes directions et vitesses nous permet de calculer et d'analyser toutes les pressions à la surface des piliers de pont à différents intervalles de temps.

4.1. Simulation Parameters

L'écoulement fluvial peut être défini comme un écoulement diphasique, comprenant de l'eau et de l'air, dans un chenal à ciel ouvert. Un écoulement en canal ouvert est un écoulement de fluide avec une surface libre sur laquelle la pression atmosphérique est uniformément répartie et est créée par le poids du fluide. Pour simuler ce type d'écoulement, la méthode multiphase VOF est utilisée.

Le logiciel Flow3D, disponible dans le commerce, utilise les méthodes de fraction volumétrique VOF et FAVOF. Dans la méthode VOF, le domaine de modélisation est d'abord divisé en cellules d'éléments plus petits ou en volumes de commandes. Pour les éléments contenant du fluide, des valeurs numériques sont conservées pour chacune des variables d'écoulement qu'ils contiennent.

Ces valeurs représentent la moyenne volumétrique des valeurs de chaque élément. Dans les courants de surface libres, toutes les cellules ne sont pas remplies de liquide ; certaines cellules de la surface d'écoulement sont à moitié pleines. Dans ce cas, une quantité appelée volume de fluide, F, est définie et représente la partie de la cellule remplie par le fluide.

Après avoir déterminé la position et l'angle de la surface d'écoulement, il sera possible d'appliquer les conditions limites appropriées à la surface d'écoulement pour calculer le mouvement du fluide. Lorsque le fluide se déplace, la valeur de F change également avec lui. Les surfaces libres sont automatiquement surveillées par le mouvement du fluide dans un réseau fixe. La méthode FAVOR est utilisée pour déterminer la géométrie.

Une autre quantité de fraction volumique peut également être utilisée pour déterminer le niveau d'un corps rigide inoccupé (V_f). Lorsque le volume occupé par le corps rigide dans chaque cellule est connu, la limite de fluide dans le réseau fixe peut être déterminée comme VOF. Cette limite est utilisée pour déterminer les conditions aux limites de la paroi que suit le cours d'eau. En général, l'équation de continuité de masse est la suivante :

Les équations de mouvement pour les composantes de vitesse du fluide en coordonnées 3D, ou en d'autres termes les équations de Navier-Stokes, sont les suivantes :

où V_F est le rapport entre le volume ouvert et l'écoulement, ρ est la masse volumique du fluide, (u, v, w) sont les composantes de la vitesse dans les directions x, y et z, respectivement, R_SOR est la fonction de source, (A_x, A_y, A_z) sont les surfaces fractionnaires, (G_x, G_y, G_z ) sont les forces de gravitation, (f_x, f_y, f_z) sont les accélérations de viscosité, et (b_x, b_y, b_z) sont les pertes par écoulement dans les milieux poreux dans les directions x, y et z, respectivement [17].

Le bassin versant du fleuve Kalixälven est vaste et large, ce qui lui confère un climat subarctique avec des hivers froids et longs et des étés doux et courts. La neige représente environ 50 % des précipitations dans cette région. En mai, la fonte des neiges entraîne généralement une augmentation significative du débit fluvial. Les conditions climatiques de la rivière sont résumées dans le Tableau 2, [18].

Contrairement à la tendance générale de cette étude, les prévisions de conditions météorologiques mentionnées utilisent les informations météorologiques enregistrées au cours des périodes précédentes. Sur la base des informations météorologiques disponibles, nous avons défini les conditions limites lors de l'exécution des calculs.

4.2.Computational Ggrid and Results

First, according to the dimensions of the columns in three directions X, Y, Z, and according to the longitudinal dimension of the pillars (D = 8.5 m; see Image 7), the domain extends by 10D upstream and by 20D downstream. Structured meshing method (Cartesian) and Flow3D software have been used to solve this problem. For a correct grid, the domain must be divided into different sections.

Cette division est basée sur les endroits à fort gradient. En créant une nouvelle surface, le domaine peut être divisé en plusieurs sections pour créer un maillage régulier avec des dimensions correctes et appropriées, le nombre de cellules sur chaque surface peut être spécifié.

Cela augmente le volume final des cellules. Pour cette raison, nous avons maillé ce domaine en trois niveaux : Grossier, moyen et fin. The results of grid independence studies are given in Image 6. Pour vérifier les résultats calculés, nous devons d'abord nous assurer que le courant d'entrée est correct. Pour ce faire, le débit d'entrée est mesuré dans le domaine de solution et comparé à la valeur de base. The dimensions of the solution domain are specified in Image 7. This image also contributes to the recognition of the bridge pillars and their surface naming.

As it is shown in Image 8, the river flow is within the allowable range for 90% of the simulation time, and the inlet flow rate has been simulated correctly. Besides, in Image 9, the average velocity of the river is calculated based on the flow rate as well as the cross-sectional area of the river.

Pour extraire la quantité de pression appliquée aux différents côtés des poteaux, nous avons sélectionné un intervalle de temps de simulation de 10 à 25 secondes (temps de stabilisation de la décharge d'une quantité de 1800 mètres cubes par seconde). The calculated results for each side are shown in Image 10 and 11. Velocity contours are also shown in Images 12 and 13. Ces contours sont ajustés en fonction de la vitesse du fluide à un moment donné.

En raison des dimensions du domaine de solution et du débit du fleuve, l'écoulement de l'eau atteint les piliers du pont à la dixième seconde et la pression initiale de l'écoulement de la rivière affecte les surfaces des piliers du pont. Cette pression initiale diminue avec le temps et se stabilise dans une certaine plage pour chaque côté en fonction de l'aire et du pourcentage d'interaction avec l'écoulement. Pour les calculs d'interaction fluide-structure (FSI), la pression critique calculée au moment où le courant heurte les piliers peut être utilisée.

5. Résumé

Les effets des conditions météorologiques extrêmes, y compris le vent dynamique et l'écoulement de l'eau, ont été étudiés numériquement pour le pont de Kalix. Trois scénarios ont été définis pour les simulations dynamiques de vent, incluant un temps extrêmement venteux, un froid extrême, et la valeur de calcul pour une période de retour de 3 000 ans. À l'aide de simulations CFD, les pressions du vent ont été déterminées par pas de temps de 60 (30 secondes) à l'aide du modèle de turbulence DDES transitoire.

Les résultats indiquent des différences significatives entre les scénarios, ce qui implique l'importance des données d'entrée, en particulier le diagramme de vitesse du vent. Il a été observé que la valeur de calcul pour la période de retour de 3 000 ans a un impact beaucoup plus important que les autres scénarios. De plus, il a été démontré qu'il est important de considérer la plage la plus élevée de pression de vent en surface à travers les pas de temps pour évaluer les performances structurelles du pont dans l'état le plus critique.

En outre, le débit maximal du fleuve a été considéré pour une simulation transitoire en fonction des conditions météorologiques enregistrées, et les piliers de pont ont été soumis au débit maximal du fleuve pendant 30 secondes. Ainsi, outre les conditions physiques d'écoulement de la rivière et les changements de direction d'écoulement en aval, les pressions maximales de l'eau ont été quantifiées au moment où l'écoulement atteint les piliers.

Les performances structurelles du pont de Kalix seront à l'avenir évaluées selon
l'imposition de charges de vent, la pression de l'eau et la charge de trafic, créant ainsi un jumeau numérique structurel reflétant la réponse réelle de la structure.

6. Remerciements

Les auteurs apprécient grandement le soutien de Dlubal Software pour la fourniture de la licence RWIND Simulation, ainsi que de Flow Sciences Inc. pour la fourniture de la licence FLOW-3D.

Auteurs

Mahyar Kazemian, PhD candidate, intern at the Department of Engineering, Timezyx Inc., Canada.
Sajad Nikdel, M.Sc. Étudiant, stagiaire au Département d'ingénierie, Timezyx Inc., Canada.
Mehrnaz Mohammad Esmaeili, Bachelor student, intern at the Department of Engineering, Timezyx Inc., Canada.
Vahid Nik, Associate Professor at the division of Building Physics, Lund University, and Chalmers University of Technology, Sweden.
Kamyab Zandi, Director, Timezyx Inc., Vancouver, BC V6N 2R2, Canada. E-mail : [email protected].