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Dipl.-Ing.格哈德·雷姆（FH）

2020-12-18

木结构翘曲屈曲 | 示例2

在上一篇文章中，木结构的扭转屈曲 |在示例 1 中通过简单的示例说明了在实际应用中如何确定弯曲梁的临界弯矩 M_crit或临界弯曲应力 σ_crit 。在本文中，临界弯矩是通过考虑由加劲支撑产生的弹性地基来确定的。

结构模型

图01中的结构体系需要分析桁架的屈曲问题。屋顶平面上有 6 个长 18 m 的桁架平行梁和 2 个支撑。山墙上的梁由柱子支撑，在计算中不考虑。对桁架杆件施加 10 kN/m 的设计荷载 q_d 。

结构模型

模型数据

l	18	m	梁的长度
B	120	mm	梁宽
[SCHOOL.]	1,200	mm	梁高
GL24h			材料按照 EN 14080
I_z	172.800.000	mm⁴	惯性矩
I_T	647.654.753	mm⁴	抗扭惯性矩
q_d	10	kN/m	荷载计算值
a_z	600	mm	荷载位置
e	600	mm	基础位置

请注意：以下用于 E 和 G 的公式虽然没有明确涉及系数中的 5% 分位数，但已被相应地考虑在内。

单跨无中间支座弯扭约束梁

无侧向和扭转约束的单跨梁

为了完整起见，首先分析桁架，没有设置侧向支座（见图 02）。等效杆件长度是在桁架结构上部施加荷载时得出的，其中 a₁ = 1.13 和 a₂ = 1.44：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{Z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

_LF	等效杆件长度
l	梁长度，侧向支撑间距
a₁ ，a₂	横向屈曲系数
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
e_0.05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩

等效杆件长度

l_ef = 17.79 m

临界弯矩可以按照下式计算：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_临界	临界弯矩
e_0.05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
_LF	等效杆件长度

临界弯矩

M 临界 =_134.52 kNm

这些示例没有由于对层板胶合木梁的均匀化处理而导致刚度属性的 5% 分位数的增加。

桁架弯矩按照下式计算：

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8}

M_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	设计弯矩
q_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	荷载计算值
l	梁长度

设计弯矩

M_d = 405.00 kNm

使用附加模块 RF-/FE-LTB 进行特征值分析的结果是，该项目的临界屈曲荷载系数为 0.3334。由此可以得出，临界弯矩

M 临界 =_0.3334 ⋅ 405 kNm = 135.03 kNm

，因此与解析解的结果相同。

Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerter Einfeldträger ohne Zwischenabstützungen

正如对于这个无支撑的细长桁架杆件一样，作用的弯矩大于临界弯矩（3 倍），因此桁架没有得到足够的约束以防止侧向屈曲。现在在计算中应该考虑一个支撑。

刚性约束弯扭的简支梁

刚性和中间扭转约束的单跨梁

如果横向屈曲支撑足够大，则侧向支座之间的间距（例如檩条）通常作为等效杆件长度进行侧向屈曲分析。在之前的文章木结构弯扭屈曲 |示例 1. 因此L取2.25 m。当 a₁ = 1.00 和 a₂ = 0.00 时，

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})}

l_ef	等效杆件长度
l	梁长度，侧向支撑间距
a₁ ，a₂	横向屈曲系数
a_z	荷载施加到剪切中心的距离
e_0.05	5 % 弹性模量分位数
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 % 剪切模量分位数
I_z	弱轴区域第二矩
I_T	扭转常数

等效杆件长度

l_ef = 2,25 m

临界弯矩值的计算结果如下：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_临界	临界弯矩
e_0.05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
_LF	等效杆件长度

临界弯矩

M 临界 =_1063.51 kNm

因为作用在梁上的弯矩小于临界弯矩，所以在刚性中间支座假设情况下，梁不会出现侧向屈曲。

使用附加模块 RF-/FE-LTB 进行特征值分析的结果是，该项目的临界屈曲荷载系数为 2.7815。由此可以得出，临界弯矩

M_{crit} = η \cdot M_{d}

M_临界	临界弯矩
η	临界荷载系数
M_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	设计弯矩

临界弯矩

M 临界 =_2.7815 ⋅ 405 kNm = 1.126.50 kNm

Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit starren Zwischenabstützungen

考虑弯扭约束的单跨梁和杆件弹性地基

具有跨度和扭转约束的单跨梁和杆件弹性地基

如在木结构中的弯扭屈曲：理论中所述，在[1]中对于弹性地基上杆件的等效杆件长度的确定通过系数 α 和 β 进行了扩展。这样可以考虑桁架杆件侧向屈曲的加劲支撑的剪切刚度. 支撑的抗剪刚度可以参见例如[2]中图 6.34。从上文中可以看出，斜率取决于支撑的类型、斜腹杆和支撑杆的应变刚度、斜腹杆的倾角以及紧固件的延性。如图01所示，剪切刚度为：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin (^{α) 2} \cdot \cos (α)

s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
e_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
[THESIS.TITEL]_D	对角线的截面面积
α	对角线和弦杆之间的夹角

加固支座的理想抗剪刚度

式中 E_D表示对角线的弹性模量，A_D表示截面的面积。但是，上面的公式不包括对角线紧固件的延性。以及杆件对角线的伸长可以通过名义截面面积 A_D '来考虑。以下是说明：

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin (^{α) 2} \cdot \cos (α)

s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
e_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
[THESIS.TITEL]_D'	对角线的名义截面面积
α	对角线和弦杆之间的夹角

加固支座的理想抗剪刚度

值:

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}}

[THESIS.TITEL]_D'	对角线的名义截面面积
[THESIS.TITEL]_D	对角线的截面面积
e_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
L_D	对角线长度
_ķSER	滑动连接模量

对角线名义截面面积

斜杆的尺寸为宽/高 = 120/200 mm，长度 L_D为 4.59 m。在对角线每侧的连接的滑移模量应为 110000 N/mm。

则理想面积是

A_D ' = 12548 mm²

斜杆与弦的夹角为 60.64 °，支撑的抗剪刚度为

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin (^{α) 2} \cdot \cos (α)

s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
e_D	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls der Diagonalen
[THESIS.TITEL]_D'	对角线的名义截面面积
α	对角线和弦杆之间的夹角

加固支座的理想抗剪刚度

s_id = 44 864 kN

每个支撑的杆件基础可以根据[2]的公式 7.291 换算如下：

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{(^{18 m) 2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

_Ky '	每种支座的弹性杆件基础
s_ID	加固支撑的理想抗剪刚度
l	支撑长度

弹性杆件基础每个支撑

对于两个支撑和六个杆件，每个杆件的弹簧常数如下：

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6}

_ķÿ	每个桁架杆件的弹性杆件基础
_Ky '	每种支座的弹性杆件基础

每个桁架杆件的弹性杆件基础

K_y = 455,6 kN/m² = 0.456 N/mm²

K_G = ∞、K_θ = 0、K_y = 0.456 N/mm²、e = 600 mm、a₁ = 1.13 和 a₂ = 1.44，得出等效的杆件长度为：

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

_LF	等效杆件长度
l	梁长度，侧向支撑间距
a₁ ，a₂	横向屈曲系数
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
e_0.05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
α，β	考虑杆件基础的因素

等效杆件长度

l_ef = 0.13

因此，临界弯矩为一个不切实际的值：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{tor}}}{l_{ef}}

M_临界	临界弯矩
e_0.05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 % Quantile des Schubmoduls
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
i_T	抗扭惯性矩
_LF	等效杆件长度

临界弯矩

M 临界 =_18482.84 kNm

该值类似于具有刚性中间支座的结构体系。如木结构中的弯扭屈曲：理论中所述，带α和β的扩展公式的应用受到限制。严格来说，该选项只有在挠度呈正弦大弧形时才有效。也就是说，如果地基非常松软。本例中不再给出。由于上面的公式是基于单项式正弦函数法的，所以上面的公式中不包含多次波的特征函数，在任意较大的弹簧常数下导致小的临界屈曲荷载。

正如图 07 所看到的，由特征值分析得出的多波特征向量。

Ergebnis der Eigenwertanalyse für den gabelgelagerten Einfeldträger mit elastischer Stabbettung

在这种情况下，可以应用 Heinrich Kreuzinger 博士 Prof. (2020) 的方法。临界弯矩计算如下：

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{(^{2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) 2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_临界	临界弯矩
[LinkToImage02]_[SCHOOL.ZIP]	荷载施加到剪切中心的距离
e	杆件弹性地基到剪切中心的距离
_ķÿ	每个桁架杆件的弹性杆件基础
l	梁长度
n	n^个本征求解
e_0.05	5 % Quantile des Elastizitätsmoduls
i_[SCHOOL.ZIP]	弱轴区域第二矩
[SCHOOLTRAINING.SCHOOLORINSTITUTION]_0.05	5 %-Quantile des Schubmoduls
i_T	抗扭惯性矩

临界弯矩

常数 n 表示一阶、二阶、三阶...特征值。因此，必须要分析几个特征值解，最小的临界弯矩值将起到决定性的作用。下列临界弯矩是当 n = 1...30 时的结果。

n	M_临界 [kNm]	n	M_临界 [kNm]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

M 临界在 n = 6 时最小，约为_1282.70 kNm。

根据附加模块 RF-/FE-LTB 的特征值解（见图 07）为：

M 临界 =_3.4376 ⋅ 405 kNm = 1.397.25 kNm

两个结果一致。然而，解析解是安全的，因为该方法是基于恒定弯矩分布的。然后给恒定临界弯矩 M_{crit 分配一个临界荷载q crit}_。

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_临界	临界荷载
M_临界	临界弯矩
l	梁长度

临界荷载

因为这个例子中的杆件基础被认为是非常刚的并且恒定分布在桁架杆件长度上，所以产生的临界弯矩略大于刚性的单个支座下的弯矩。

根据[3]中章节 9.2.5.3(2)，加劲支撑的刚度必须不超过其水平挠度的 L/500。计算必须使用刚度的设计值（见[1] ， 9.2.5.3 章 NCI）。

当 k_crit = 0.195，H = 5 m 且阵风速度压力 q_p = 0.65 kN/m² 时，得出以下荷载（见[3] ，章节 9.2.5.3）：

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h}

N_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	受压翼缘稳定力
K_临界	侧向稳定性系数
M_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	设计弯矩
[SCHOOL.]	梁高度

压缩弦的稳定力

N_d = (1 - 0,195) ⋅ 405/1,2 = 271,68 kN

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L}

q_{[SCHOOLTRAINING.NUMBEROFSTUDENTS]}	加固荷载
n	桁架数目
l	梁长度
_f	抗弯刚度的修改系数

加劲荷载

q_d = 2.76 kN/m

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} \cdot c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2}

q_d，风	风荷载
_γQ	可变作用的分项系数
_CPE	外压系数
q_p	峰值风速压力
[SCHOOL.]	结构高度

风荷载

q_d,wind = 1.5 ⋅ (0.7 + 0.3) ⋅ 0.65 ⋅ 5/2 = 2.44 kN/m

加劲支撑的变形如图08所示。因为有两个加劲支撑，所以荷载分成两半。

加固支撑的水平位移

容许变形为：

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

容许变形

结果验证了系统为非常刚度的支撑的假设，并且在刚性中间支座和弹性支座的系统中有着几乎相同的临界弯矩。

小结

展示了在木结构中的哪些可能性可以用于分析受弯梁的侧向屈曲。通常的计算方法都需要注意，支撑结构必须具有足够的刚度，以便能够承受刚性支座。本文列出了不适用这种假设的情况。原则上对弯梁和加劲支撑必须按照相应的规范进行承载力和正常使用设计。这不属于本文的讨论范围。

知识库

KB 001669 | 木结构翘曲屈曲 | 示例2

作者

Rehm 先生负责木结构产品的开发，并提供技术支持。

链接

参考

国家附录 - 欧洲规范 5： Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. Auflage. Wiesbaden: Vieweg, 1982
欧洲规范 5：木结构设计 - 第1-1部分：总则 – 通用规范和建筑规范DIN EN 1995-1-1:2010-12

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RFEM 6 的应力-应变分析模块

模块

“应力-应变分析”模块用于执行一般应力分析，通过计算现有的实际应力，然后与构件的极限应力进行比较。

首个许可证价格 1,210.00 USD

RFEM 6 | design

RFEM 6 的混凝土设计模块

模块

“混凝土设计”模块可以按照国际规范进行各种设计验算。可以设计杆件、面和柱，以及进行冲切设计和变形分析。

首个许可证价格 2,550.00 USD

RFEM 6 | design

RFEM 6 的钢结构设计模块

模块

使用钢结构设计模块，可以对按照不同规范的钢杆件进行承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。

首个许可证价格 2,550.00 USD

RFEM 6 | design

RFEM 6 的砌体设计模块

模块

使用 RFEM 的砌体设计模块，您可以通过有限元法对砌体结构进行设计。该模块是作为研究项目 DDMaS – 砌体结构设计数字化的一部分而开发的。该材料模型以宏观建模的形式来表现砌块和砂浆材料组合的非线性行为。

首个许可证价格 1,660.00 USD

RFEM 6 | design

RFEM 6 的铝合金结构设计模块

模块

使用 Aluminium Design 模块可以按照不同的规范对铝合金杆件进行承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。

首个许可证价格 1,750.00 USD

RFEM 6 | 连接节点

RFEM 6 的钢结构节点模块

模块

使用 RFEM 的钢结构节点模块，您可以使用有限元模型对钢结构节点进行分析。有限元模型在后台自动生成，可以通过简单地输入组件来控制。

首个许可证价格 2,110.00 USD

RSTAB 9 | 其他分析

RSTAB 9的结构稳定性

模块

“结构稳定性”模块可以用来分析结构的稳定性，

首个许可证价格 1,300.00 USD

RSTAB 9 | 其他分析

RSTAB 9 的翘曲扭转 (7自由度) 模块

模块

“翘曲扭转 (7自由度)”模块允许在计算杆件时将截面翘曲作为额外的一个自由度进行考虑。

首个许可证价格 1,480.00 USD

RSTAB 9 | design

RSTAB 9应力-应变分析

模块

应力-应变分析模块通过计算现有应力并将其与极限应力进行比较来进行一般应力分析。

首个许可证价格 1,120.00 USD

RSTAB 9 | design

RSTAB 9的混凝土设计

模块

在混凝土设计模块中，可以根据国际规范对杆件和柱子进行各种设计验算。

首个许可证价格 2,550.00 USD

RSTAB 9 | design

RSTAB 9的钢结构设计

模块

使用钢结构设计模块，可以对按照不同规范的钢杆件进行承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。

首个许可证价格 2,550.00 USD

RSTAB 9 | design

RSTAB 9铝合金设计

模块

使用 Aluminium Design 模块可以按照不同的规范对铝合金杆件进行承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。

首个许可证价格 1,750.00 USD

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